ex4.1.3 指数分布のランダム標本の和と平均の従う分布

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

[商品価格に関しましては、リンクが作成された時点と現時点で情報が変更されている場合がございます。]

入門・演習数理統計 [ 野田一雄 ]
価格:3780円(税込、送料無料) (2018/4/3時点)



間違い等発見されましたらご指摘ください。
他の解答はこちらから。
なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。

また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。



スポンサーリンク


$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex4.1.3

$X$をパラメータ$\lambda$の指数分布に従う確率変数とする.その積率母関数$M_X(t)$は,

\begin{align}
M_X(t) &= \int_0^\infty e^{tx} \cdot \lambda e^{-\lambda x} \delt x \lnl
&= \frac{\lambda}{\lambda -t } \int_0^\infty (\lambda – t) e^{-(\lambda -t)x } \delt x
\end{align}

積分部分は$\lambda -t > 0 $の範囲で , パラメータ $(\lambda-t)$の指数分布の全確率に等しい .従って、この範囲で積率母関数は
\begin{align}
M_X(t) = \frac{\lambda}{\lambda -t }
\end{align}

となる.

$S_n$の積率母関数は, 各$X_i$が独立同一分布に従うことから ,

\begin{align}
M_S(t) = \Big(M_X(t)\Big)^n = \left(\frac{\lambda}{\lambda – t}\right)^n
\end{align}

となる. これはパラメータ $n , \lambda $のガンマ分布の積率母関数である.
従って$S_n$はパラメータ $n , \lambda $のガンマ分布に従う.

次に$\bar{X}$ の従う分布を求める.$n\bar{X}= S_n$と書けるので,

\begin{align}
P(\bar{X} < x) &= P(S_n < nx) \lnl &=\int_0^{nx} \frac{\lambda^n}{\Gamma(n)} t^{n-1} e^{-\lambda t} \delt t \lnl &\text{ここで}s=t/n\text{とおくと,}\lnl P(\bar{X} < x)&=\int_0^{x} \frac{\lambda^n}{\Gamma(n)}(ns)^{n-1} e^{-n\lambda s} n \delt s\lnl &=\int_0^{x} \frac{(n\lambda)^n}{\Gamma(n)}s^{n-1} e^{-(n\lambda) s} \delt s \end{align}
これはパラメータ$n, n\lambda$のガンマ分布の分布関数である. 従って$\bar{X}$はパラメータ$n, n\lambda$のガンマ分布に従うことが示された.