はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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![[商品価格に関しましては、リンクが作成された時点と現時点で情報が変更されている場合がございます。]](https://hbb.afl.rakuten.co.jp/hgb/168fe2a5.9e57af2f.168fe2a6.bfb6b9f1/?me_id=1213310&item_id=10288940&m=https%3A%2F%2Fthumbnail.image.rakuten.co.jp%2F%400_mall%2Fbook%2Fcabinet%2F3200%2F32001435.jpg%3F_ex%3D80x80&pc=https%3A%2F%2Fthumbnail.image.rakuten.co.jp%2F%400_mall%2Fbook%2Fcabinet%2F3200%2F32001435.jpg%3F_ex%3D128x128&s=128x128&t=picttext "[商品価格に関しましては、リンクが作成された時点と現時点で情報が変更されている場合がございます。]")
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex2.6.3
$ E(X) = m_X^{(1)}(0) , V(X) = m_X^{(2)}(0) – E(X)^2 $を用いて計算する。
\begin{align}
E(X) &= m_X^{(1)}(t)|_{t=0}\lnl
&= 10(0.2e^t+0.8)^9\cdot 0.2 e^t \Big|_{t=0}\lnl
&= 2\Lnl
E(X^2) &= m_X^{(2)}(t)\Big|_{t=0}\lnl
&= \left\{90(0.2e^t+0.8)^8(0.2e^t)^2 + 10(0.2e^t+0.8)^9\cdot 0.2e^t \right\}\Big|_{t=0}\lnl
&= 5.6\Lnl
V(X) &= E(X^2) – E(X)^2\lnl
&= 5.6 – 2^2\lnl
&=1.6
\end{align}
E(X) &= m_X^{(1)}(t)|_{t=0}\lnl
&= 10(0.2e^t+0.8)^9\cdot 0.2 e^t \Big|_{t=0}\lnl
&= 2\Lnl
E(X^2) &= m_X^{(2)}(t)\Big|_{t=0}\lnl
&= \left\{90(0.2e^t+0.8)^8(0.2e^t)^2 + 10(0.2e^t+0.8)^9\cdot 0.2e^t \right\}\Big|_{t=0}\lnl
&= 5.6\Lnl
V(X) &= E(X^2) – E(X)^2\lnl
&= 5.6 – 2^2\lnl
&=1.6
\end{align}
よって示された。