4.1.確率変数の定義と離散型・連続型確率変数

$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
このページでは確率を表すうえで重要な記法を紹介します.

これまで, 確率とは事象を表す集合に定義されるものとして学んできました.
今後もその定義は変わりませんが, もう少し扱いやすい形にしたいと思います.

確率変数

はじめに, 根元事象が数値であるものを考えます.
身近な例でサイコロの出目を考えてみましょう.

どの出目も等しい確率$\cfrac{1}{6}$で出るとします.サイコロを投げる前はどの出目が出るかわかりません. そこで, ある変数$X$を出目と考えて, 確率と結びつけます.つまり「$X=1$となる確率は$\cfrac{1}{6}$である」などと考えるのです.これを記号で

\begin{align}
P(X = 1) = \cfrac{1}{6}
\end{align}

と書きます.$P$はProbabilityの頭文字です.

出目は$1,2,3,4,5,6$いずれの可能性もありますから,

\begin{align}
P(X= 1) = \cfrac{1}{6} ,\quad P(X= 2) = \cfrac{1}{6} ,\quad P(X= 3) = \cfrac{1}{6} \lnl
P(X= 4) = \cfrac{1}{6} ,\quad P(X= 5) = \cfrac{1}{6} ,\quad P(X= 6) = \cfrac{1}{6}
\end{align}

とそれぞれの値で定義されます.これを簡潔に書くと,
\begin{align}
P(X=k) = \cfrac{1}{6} ,\quad k=1,2,3,4,5,6
\end{align}

となります.また,$1,2,3,4,5,6$以外, 例えば$10$が出る確率は$0$ですから,
\begin{align}
P(X=10) = 0
\end{align}

となります.

このように根元事象を表す変数で確率が対応しているようなものを確率変数(Random Variable)といいます. アルファベット大文字で表すことが多いです.

根元事象が数値ではない場合の確率変数

根元事象が数値でない場合にも確率変数は定義できます.
例えば, 「袋に赤玉を$3$個, 白玉を$2$個いれて, でたらめに$1$個取り出した時の玉の色ごとの確率」を考えてみましょう.

このとき,

\begin{align}
X = \begin{cases} 0 & \text{取り出した玉が赤}\\ 1&\text{取り出した玉が白}\end{cases}
\end{align}

とすれば$X$は確率変数となり,
\begin{align}
P(X=0) = \cfrac{3}{5} , \quad P(X=1) = \cfrac{2}{5}
\end{align}

と書くことができます.このように根元事象に対して数値を対応させれば, 元々数値でない事象にも確率変数を定義できます.

離散型と連続型確率変数

確率変数は大きく離散型と連続型に分かれます.それぞれの定義を紹介します.

離散型確率変数

サイコロやテストの点数のように確率変数$X$が加算集合 , つまり有限個もしくは加算の無限個の値をとりうるとき, 離散型(Discrete Type)といいます.

連続型確率変数

身長や体重 , 所要時間のように確率変数$X$が連続集合の値をとりうるとき, 連続型(Continuous Type)といいます.