ex1.3.2 条件付き確率の諸性質の証明

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex1.3.2

(a)

\begin{align} P(\Omega | A) = \frac{P(A\cap \Omega)}{P(A)}=\frac{P(A)}{P(A)}=1\end{align}

(b)
条件付き確率の定義より、

\begin{align}P(B|A) = \frac{P(B\cap A)}{P(A)}\end{align}

ここで、
\begin{align}B\cap A \subset A\end{align}

であるから、
\begin{align} 0 \le P(B\cap A) \le P(A)\end{align}

両辺を$P(A) (> 0)$で割って、
\begin{align}0 \le \frac{P(B\cap A)}{P(A)} \le 1\end{align}

(c)

\begin{align}
P(B_1\cup B_2 | A) &= \frac{P( (B_1 \cup B_2) \cap A)}{P(A)} \\
&= \frac{P( (B_1 \cap A) \cup (B_2 \cap A) )}{P(A)} \\
&= \frac{P(B_1 \cap A) +P(B_2 \cap A) – P( (B_1\cap A) \cap (B_2 \cap A)) }{P(A)} \\
&= \frac{P(B_1 \cap A) +P(B_2 \cap A) – P( \underline{(B_1\cap B_2)} \cap A)) }{P(A)} \\
&= \frac{P(B_1 \cap A) +P(B_2 \cap A) – P( \underline{\phi} \cap A)) }{P(A)} \\
&= \frac{P(B_1 \cap A) +P(B_2 \cap A) – P( \phi) }{P(A)} \\
&= \frac{P(B_1 \cap A) +P(B_2 \cap A) – 0 }{P(A)} \\
&= P(B_1|A) +P(B_2 | A)
\end{align}

(d)

\begin{align}
P(\bigcup_{i=1}^\infty B_i | A) &=\frac{P( (\bigcup_{i=1}^\infty B_i)\cap A)}{P(A)} \\
&=\frac{P( \bigcup_{i=1}^\infty (B_i \cap A) )}{P(A)} \\
&= \frac{\sum_{i=1}^\infty P(B_i \cap A)}{P(A)} \qquad\because \text{確率公理 (iii)} \\
&= \sum_{i=1}^\infty P(B_i | A)
\end{align}

よって示された。