はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex2.8.4
$\rho(X,Y)$を簡単に$\rho$と書くことにする。
(2.8.6)より、
\begin{align}E(Y|x) = \mu_Y + \rho\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}(x-\mu_x)\end{align}
これが$-2x+1$に等しいということであるので、係数を比べて、
\begin{align}
\begin{cases}
\rho\cfrac{\sigma_Y}{\sigma_X} = -2\lnl
2\mu_X + \mu_Y = 1 \tag{A}
\end{cases}
\end{align}
\begin{cases}
\rho\cfrac{\sigma_Y}{\sigma_X} = -2\lnl
2\mu_X + \mu_Y = 1 \tag{A}
\end{cases}
\end{align}
となる。
同様にして、
\begin{align}E(X|y) = \mu_X + \rho\frac{\sigma_X}{\sigma_Y}(y-\mu_y)\end{align}
が成立。$E(X|y) = -\cfrac{y}{8} -2$と係数を比べると、
\begin{align}
\begin{cases}
\rho\cfrac{\sigma_X}{\sigma_Y} = -\cfrac{1}{8}\lnl
\cfrac{1}{8}\mu_Y + \mu_X = -2\tag{B}
\end{cases}
\end{align}
\begin{cases}
\rho\cfrac{\sigma_X}{\sigma_Y} = -\cfrac{1}{8}\lnl
\cfrac{1}{8}\mu_Y + \mu_X = -2\tag{B}
\end{cases}
\end{align}
(A)(B)それぞれの下の式から、
\begin{align}
\begin{cases}
\mu_X = E(X) = -\cfrac{17}{6}\lnl
\mu_Y = E(Y) = \cfrac{20}{3}
\end{cases}
\end{align}
\begin{cases}
\mu_X = E(X) = -\cfrac{17}{6}\lnl
\mu_Y = E(Y) = \cfrac{20}{3}
\end{cases}
\end{align}
(A)(B)それぞれの上の式で、$\alpha = \cfrac{\sigma_Y}{\sigma_X}$と置くと、
\begin{align}
\begin{cases}
\rho \alpha = -2\lnl
\rho = -\cfrac{1}{8}\alpha
\end{cases}
\end{align}
\begin{cases}
\rho \alpha = -2\lnl
\rho = -\cfrac{1}{8}\alpha
\end{cases}
\end{align}
これより、
\begin{align}
\begin{cases}
\alpha^2 = \cfrac{V(Y)}{V(X)} = 16\lnl
\rho = -\cfrac{1}{2}
\end{cases}
\end{align}
\begin{cases}
\alpha^2 = \cfrac{V(Y)}{V(X)} = 16\lnl
\rho = -\cfrac{1}{2}
\end{cases}
\end{align}
となる。なお、計算途中で$\alpha \ge 0 $を用いた。