ex4.6.13 母集団分散の代わりに標本分布を用いた中心極限定理

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex4.6.13

中心極限定理より,

\begin{align}
n^\frac{1}{2}\frac{\overline{X}_n-\mu}{\sigma} \xrightarrow{d}Z
\end{align}

となる.テキスト(4.6.4)より,定数$\sigma$倍の分布は,
\begin{align}
n^\frac{1}{2}(\overline{X}_n-\mu) \xrightarrow{d} \sigma Z
\end{align}

となる.

また, (ex4.5.2)より,

\begin{align}
{S_n}^2 \xrightarrow{P} \sigma^2
\end{align}

となる.テキスト(4.5.4)より$g(x) = x^\frac{1}{2}$とすると,
\begin{align}
&g({S_n}^2) \xrightarrow{P} g(\sigma^2)\\
&\Longrightarrow \quad\left({S_n}^2\right)^\frac{1}{2} \xrightarrow{P} \sigma
\end{align}

が成り立つ.

ここで,

\begin{align}
\begin{cases}
Y_n = n^\frac{1}{2}(\overline{X}_n – \mu)\lnl
U_n = \left({S_n}^2\right)^\frac{1}{2}
\end{cases}
\end{align}

とすると,スラツキーの定理(4.6.5)より,
\begin{align}
\frac{Y_n}{U_n} = \frac{(\overline{X}_n -\mu)}{\left(\cfrac{{S_n}^2}{n}\right)^\frac{1}{2}} \xrightarrow{d} \frac{\sigma Z}{\sigma} = Z
\end{align}

となり示された.