はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex2.4.9
(i)
与えられた$X$と$Y$の結合確率関数に$z=x+y$の列を追加すると、次のようになる。
この表から、$Z$に関しての結合確率関数と分布は次のようになる。
より正確に、表すと次の通り。
\begin{align}
F_Z(z) = \begin{cases}0 & (z < -3)\\
0.2 & (-3 \le z < -2)\\
0.4 & (-2 \le z < -1)\\
0.69 & (-1 \le z < 0)\\
0.81 & (0 \le z < 1)\\
0.88 & (1 \le z < 2)\\
0.95 & (2 \le z < 3)\\
1 & (3 \le z)\end{cases}
\end{align}
F_Z(z) = \begin{cases}0 & (z < -3)\\
0.2 & (-3 \le z < -2)\\
0.4 & (-2 \le z < -1)\\
0.69 & (-1 \le z < 0)\\
0.81 & (0 \le z < 1)\\
0.88 & (1 \le z < 2)\\
0.95 & (2 \le z < 3)\\
1 & (3 \le z)\end{cases}
\end{align}
(ii)
$\mathbb{U} = (X^2, 2Y) = (S,T)$とする。
(2.4.6)より、$ f_{\bm{S}}$は以下を満たす。
\begin{align}
f_{\mathbb{U}}(s,t) = \sum f_{(X,Y)}(x,y)
\end{align}
f_{\mathbb{U}}(s,t) = \sum f_{(X,Y)}(x,y)
\end{align}
ただし、$ \sum$は
\begin{align}
\begin{cases}s = x^2\\
t=2y\end{cases}
\end{align}
\begin{cases}s = x^2\\
t=2y\end{cases}
\end{align}
を満たす全ての$ (x,y)$の組合せ。
与えられた表から、$ S=X^2$の取りうる値は$ 4 , 1, 0$であることがわかり、
$ T=2Y$の取りうる値は $-2 , 0 , 2 , 6$である。
これらの結合確率密度は以下の通り。