ex6.A.6 有限母集団についての推定

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.A.6

テキストではランダム標本とは独立で同一の分布に従う確率変数の組と定義されています(4.1.1).
今回の問題は, 有限母集団から非復元抽出したときの不偏推定量を求める問題であり, 各確率変数間は独立ではなくなります.問題が悪い気がします.

(i)
期待値の線形性と, 定義を用いて計算する.

\begin{align}
E\left(\overline{X}\right) &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E(X_i) \lnl
&= \frac{1}{n} \cdot n E(X_i) \lnl
&= \sum_{j=1}^N P(X_i = a_j)\cdot a_j\lnl
&= \frac{1}{N}\sum_{j=1}^N a_j\lnl
&= \mu
\end{align}

となり示された.

(ii)
まず,

\begin{align}
U^2 = \frac{N-1}{N}\left(\frac{\displaystyle \ssum_{i=1}^n \left(X_i – \overline{X}\right)^2}{n-1}\right)
\end{align}

と定義する.係数ではない部分の期待値を計算する.最初に,
\begin{align}
E\left(\sum_{i=1}^n\left(X_i – \overline{X}\right)^2\right) &= E\left(\sum_{i=1}^n \left({X_i}^2 – 2X_i \overline{X} + \overline{X}^2\right)\right) \lnl
&= E\left(\sum_{i=1}^n {X_i}^2 – 2\sum_{i=1}^n X_i \overline{X} + \sum_{i=1}^n \overline{X}^2\right) \lnl
&= E\left(\sum_{i=1}^n {X_i}^2 – 2n \overline{X}^2 + n \overline{X}^2\right) \lnl
&= \sum_{i=1}^n E\left({X_i}^2\right) – n E\left(\overline{X}^2\right) \label{eq-6a6-1}
\end{align}

と変形しておく. 期待値の定義から,
\begin{align}
E\left({X_i}^2\right)&= \sum_{j=1}^N P(X_i = a_j)\cdot {a_j}^2 = \frac{1}{N}\sum_{j=1}^N {a_j}^2
\end{align}

であるので,
\begin{align}
\sum_{i=1}^n E\left({X_i}^2\right) = \frac{n}{N}\sum_{j=1}^N {a_j}^2 \label{eq-6a6-x2}
\end{align}

となる.次に
\begin{align}
E\left(\overline{X}^2\right) &= \frac{1}{n^2} E\left((X_1+X_2+\cdots+X_n)^2\right) \lnl
&= \frac{1}{n^2} E\left(\sum_{i=1}^n {X_i}^2 + \sum_{i=1}^n \sum_{j\neq i} X_i X_j\right)\lnl
&= \frac{1}{n^2} E\left(\sum_{i=1}^n {X_i}^2\right) +\frac{1}{n^2}E\left( \sum_{i=1}^n \sum_{j\neq i} X_i X_j\right) \label{eq-6a6-2}
\end{align}

と変形できる.$\eqref{eq-6a6-2}$の第二項の期待値は,
\begin{align}
E\left( \sum_{i=1}^n \sum_{j\neq i} X_i X_j\right) &= n(n-1) E(X_i X_j)\lnl
&= n(n-1)\sum_{k=1}^N\sum_{l\neq k} P(X_i = a_k , X_j = a_l)\cdot a_k a_l\lnl
&= \frac{n(n-1)}{N(N-1)}\underline{\sum_{k=1}^N \sum_{l\neq k} a_k a_l}\label{eq-6a6-3}
\end{align}

である.さらに下線部は,
\begin{align}
\sum_{k=1}^N \sum_{l\neq k} a_k a_l &= a_1(a_2+a_3+\cdots+a_N) + a_2(a_1+a_3+\cdots+a_N)+\\
&\qquad\quad \cdots +a_N(a_1+\cdots a_{N-1})\lnl
&= a_1(N\mu – a_1) + a_2(N\mu-a_2)+\cdots a_N(N\mu-a_N)\lnl
&=N\mu \sum_{i=1}^N a_i – \sum_{i=1}^N {a_i}^2\lnl
&=N^2\mu^2 – \sum_{i=1}^N {a_i}^2\label{eq-6a6-4}
\end{align}

となる.$\eqref{eq-6a6-2}$に$\eqref{eq-6a6-x2}, \eqref{eq-6a6-3} , \eqref{eq-6a6-4}$を代入して,
\begin{align}
E\left(\overline{X}^2\right) &= \frac{1}{n^2}\cdot \frac{n}{N}\sum_{i=1}^N {a_i}^2 + \frac{1}{n^2}\cdot
\frac{n(n-1)}{N(N-1)} \left(N^2\mu^2 – \sum_{i=1}^N {a_i}^2\right)\lnl
&= \frac{1}{nN}\sum_{i=1}^N {a_i}^2 + \cdot \frac{n-1}{nN(N-1)} \left(N^2\mu^2 – \sum_{i=1}^N {a_i}^2\right)\lnl
&= \frac{N-n}{nN(N-1)} \sum_{i=1}^N {a_i}^2 + \frac{N(n-1)}{n(N-1)}\mu^2\label{eq-6a6-5}
\end{align}

$\eqref{eq-6a6-1}$に$\eqref{eq-6a6-x2},\eqref{eq-6a6-5}$を代入して,
\begin{align}
E\left(\sum_{i=1}^n\left(X_i – \overline{X}\right)^2\right) &= \frac{n}{N}\sum_{i=1}^N {a_i}^2 – n\cdot \frac{N-n}{nN(N-1)} \sum_{i=1}^N {a_i}^2 + \frac{N(n-1)}{n(N-1)}\mu^2\lnl
&= \frac{n-1}{N-1}\sum_{i=1}^N {a_i}^2 – \frac{N(n-1)}{N-1}\mu^2\lnl
&= \frac{N(n-1)}{N-1}\left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N {a_i}^2 – \mu^2\right) \label{eq-6a6-6}\lnl
&= \frac{N(n-1)}{N-1} \sigma^2\label{eq-6a6-7}
\end{align}

となる.なお$\eqref{eq-6a6-6}$から$\eqref{eq-6a6-7}$への変形は,
\begin{align}
\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (a_i – \mu)^2 &= \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \left({a_i}^2 -2\mu a_i +\mu^2\right) \lnl
&= \frac{1}{N }\sum_{i=1}^N {a_i}^2 -\frac{2}{N}\mu\cdot N\mu + N\mu^2\lnl
&= \frac{1}{N }\sum_{i=1}^N {a_i}^2 – \mu^2
\end{align}

を用いた.
以上より,
\begin{align}
E\left(U^2\right) &= \frac{N-1}{N}\frac{1}{n-1} E\left(\sum_{i=1}^n\left(X_i – \overline{X}\right)^2\right) \lnl
&=\frac{N-1}{N}\frac{1}{n-1} \cdot \frac{N(n-1)}{N-1} \sigma^2\lnl
&= \sigma^2
\end{align}

となり, 示された.