はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex1.A.4
事象を
$A$: 1回目が表でない
$B$:3回投げられた(2回目までで終わらなかった)
と定義する。
(i) $a$:表 $b$:裏とする。
\begin{align}\Omega = \Big\{ \{a\} , \{b,a\} , \{b,b,a\} , \{b,b,b\} \Big\}\end{align}
(ii) 1回目に$a$, $b$どちらとなるからは同様に確からしいから、
\begin{align}
P(A) = \cfrac{1}{2}
\end{align}
P(A) = \cfrac{1}{2}
\end{align}
(iii)$P(B) = P\Big(\{b,b,a\}\cup \{b,b,b\}\Big)$を求めればよい。
\begin{align}
P(B) = P\Big(\{b,b,a\}\cup \{b,b,b\}\Big) = \frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2} = \frac{1}{4}
\end{align}
P(B) = P\Big(\{b,b,a\}\cup \{b,b,b\}\Big) = \frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2} = \frac{1}{4}
\end{align}
(iv)
条件付き確率の定義を用いる。
\begin{align}P(B|A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)} = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)} = \frac{1}{2}\end{align}
なお、3回投げた場合には必ず1回目は表でないことから$P(A|B)=1$を用いた。