記事の目的
明解演習 数理統計の勉強をしながら気づいた点を書いていきます。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
第6章 ゼミナール4.1(p121 解答:p180)
解答の不親切さ
この問題は驚くべきことに、解答が解答になっていないです。
問題:$ U^2=\frac{1}{n-1}\displaystyle \sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2 $ は $ \sigma^2 $の有効推定量であるか
解答:「XXXXX」より題意の通り。
Yes or Noで答えるべき質問に「あなたの言うとおりです」って返しているようなものです。意味が分かりません。
さらに、「XXXXX」の部分にも$ V(U^2)=\frac{2}{n-1}\sigma^\textcolor{red}{2} $という誤植があります。
(本当は$ V(U^2)=\frac{2}{n-1}\sigma^\textcolor{blue}{4} $)
$ V(U^2) $の導出を含めて解答を作ります。
解答例
第4章のゼミナール14.1 (1)の結果を利用します。
\begin{align}
\frac{nS^2}{\sigma^2} = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2
\end{align}
\frac{nS^2}{\sigma^2} = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2
\end{align}
は自由度$ n-1 $の$ \chi^2 $分布に従う
これを使うと、$ V(U^2) $を簡単に求めることができます。
\begin{align}
U^2 = \frac{\sigma^2}{n-1}\left( \frac{nS^2}{\sigma^2} \right)
\end{align}
U^2 = \frac{\sigma^2}{n-1}\left( \frac{nS^2}{\sigma^2} \right)
\end{align}
と書けることから、
\begin{align*}
V(U^2) &= V\left[\frac{\sigma^2}{n-1}\left( \frac{nS^2}{\sigma^2} \right)\right] \\
&= \left(\frac{\sigma^2}{n-1}\right)^2 V\left( \frac{nS^2}{\sigma^2} \right) \\
&= \left(\frac{\sigma^2}{n-1}\right)^2 2(n-1) \\
&= \frac{2}{n-1}\sigma^4
\end{align*}
V(U^2) &= V\left[\frac{\sigma^2}{n-1}\left( \frac{nS^2}{\sigma^2} \right)\right] \\
&= \left(\frac{\sigma^2}{n-1}\right)^2 V\left( \frac{nS^2}{\sigma^2} \right) \\
&= \left(\frac{\sigma^2}{n-1}\right)^2 2(n-1) \\
&= \frac{2}{n-1}\sigma^4
\end{align*}
(途中で$ \chi^2(n) $に従う確率変数の分散は$ 2n $であることを利用した)
これは、クラメール・ラオの不等式の等号を満たさないため、$ U^2 $は有効推定量ではありません。答えはNoです。
(クラメール・ラオの不等式の右辺の計算はテキストの例題4をご覧ください)