ex6.3.4 正規分布のパーセンタイル点と二次の積率の最尤推定量(MLE)

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.3.4

\begin{align}
P(X \le q_\alpha) = P\left(\frac{X-\mu}{\sigma} \le \frac{q_\alpha – \mu}{\sigma}\right) = P(X \le k_\alpha)
\end{align}

であるので,
\begin{align}
\frac{q_\alpha – \mu}{\sigma} = k_\alpha \Longleftrightarrow q_\alpha = \mu + k_\alpha \sigma
\end{align}

となり,$q_\alpha$は$\mu$と$\sigma$の関数であるため,この二つのMLEを求めればよい.

平均$\mu$,分散$\sigma^2$の正規分布の確率密度関数$f_X(x)$は,

\begin{align}
f_X(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
\end{align}

である.尤度関数は
\begin{align}
L(\mu,\sigma^2; \bm{x}) &= \prod_{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\lnl
&=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^n\exp\left(-\sum_{i=1}^n\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
\end{align}

である.
尤度方程式
\begin{align}
\begin{cases}
\cfrac{\partial}{\partial \mu} \log L(\mu,\sigma^2;\bm{x}) = 0\lnl
\cfrac{\partial}{\partial \sigma^2} \log L(\mu,\sigma^2;\bm{x}) = 0
\end{cases}\label{eq-le4}
\end{align}

を解く.
\begin{align}
\begin{cases}
\cfrac{\partial}{\partial \mu} \log L(\mu,\sigma^2;\bm{x}) = \cfrac{n}{\sigma^2}\left(\overline{x} – \mu\right)\lnl
\cfrac{\partial}{\partial \sigma^2} \log L(\mu,\sigma^2;\bm{x}) = -\cfrac{n}{2\sigma^2} + \cfrac{1}{2\sigma^4}\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i – \mu)^2
\end{cases}
\end{align}

であるので,
\begin{align}
\begin{cases}
\hat{\mu} = \overline{x} \lnl
\hat{\sigma}^2 = \cfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n (x_i – \overline{x})^2
\end{cases}
\end{align}

が$\eqref{eq-le4}$の解となる.これが尤度関数の最大値を与えることは下の増減表からわかる.

$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\mu & \cdots & \hat{\mu} & \cdots \\
\hline
\frac{\partial}{\partial \mu}\log L(\mu,\sigma^2;\bm{x}) & + & 0 & – \\
\hline
L(\mu,\sigma^2;\bm{x}) & \nearrow & \text{最大} & \searrow \\
\hline
\end{array} $

$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\sigma^2 & \cdots & \hat{\sigma}^2 & \cdots \\
\hline
\frac{\partial}{\partial \sigma^2}\log L(\mu,\sigma^2;\bm{x}) & + & 0 & – \\
\hline
L(\mu,\sigma^2;\bm{x}) & \nearrow & \text{最大} & \searrow \\
\hline
\end{array} $

従って$q_\alpha$の最尤推定量$\hat{q}_\alpha$は

\begin{align}
\hat{q}_\alpha = \hat{\mu} + k_\alpha\hat{\sigma} = \overline{X}+ k_\alpha\sqrt{\cfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i – \overline{X})^2}
\end{align}

となる.

また,$\sigma^2 = E\left({X_1}^2\right) – \mu^2$から,$E\left({X_1}^2\right)$の最尤推定量は

\begin{align}
\hat{\mu}^2 + \hat{\sigma}^2 = \overline{X}^2 + \cfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i – \overline{X})^2
\end{align}

となる.