ex7.1.4 ベルヌーイ分布のパラメータ検定の検定の大きさ・検出力・タイプIIの誤り

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
検定の大きさは,
\begin{align}
P\left(\sum_{i=1}^{15} X_i > 12 | H_0\right) &= {}_{15}\comb_{13}\left(\frac{1}{2}\right)^{13}\left(\frac{1}{2}\right)^{2} \lnl
&\qquad+{}_{15}\comb_{14}\left(\frac{1}{2}\right)^{14}\left(\frac{1}{2}\right)^{1} +{}_{15}\comb_{15}\left(\frac{1}{2}\right)^{15}\lnl
&\fallingdotseq 0.0037
\end{align}

対立仮説に対する検出力は,

\begin{align}
P\left(\sum_{i=1}^{15} X_i > 12 | H_1\right) &= {}_{15}\comb_{13}\left(0.7\right)^{13}\left(1-0.7\right)^{2} \lnl
&\qquad+{}_{15}\comb_{14}\left(0.7\right)^{14}\left(1-0.7\right)^{1} +{}_{15}\comb_{15}\left(0.7\right)^{15}\lnl
&\fallingdotseq 0.1268
\end{align}

タイプIIの誤りは,

\begin{align}
P\left(\sum_{i=1}^{15} X_i \le 12 | H_1\right)&= 1 – P\left(\sum_{i=1}^{15} X_i > 12 | H_1\right)\lnl
&= 0.8732
\end{align}