ex6.2.9 平均既知の正規分布の標準偏差のr乗のUMVUE

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.2.9

結合密度関数は

\begin{align}
f(\bm{x};\sigma^2) &= \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^n\exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2\right)\lnl
&= \exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}s^2 – \frac{n}{2}\log(2\pi\sigma^2)\right)
\end{align}

である.ここで$s^2=\displaystyle \sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2$.
これは1パラメータの指数分布族であることを示しているので, $S^2$の関数で不偏推定量が$\sigma^r = {\sqrt{\sigma^2}}^r$のUMVUEとなる.

$\chi^2(n)$を自由度$n$のカイ二乗分布とすると,

\begin{align}
\frac{S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)
\end{align}

である.$Y$を自由度$n$のカイ二乗分布に従う確率変数とすると,
\begin{align}
\frac{S^2}{\sigma^2} = Y \Longleftrightarrow S^r = \sigma^r \sqrt{Y}^r
\end{align}

となる.

ここで,

\begin{align}
E\Big(\sqrt{Y}^r\Big) &= \int_0^\infty y^\frac{r}{2} \frac{1}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{n}{2} y^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{y}{2}} \delt y\lnl
&= \int_0^\infty \frac{1}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{n}{2} y^{\frac{n+r}{2}-1} e^{-\frac{y}{2}} \delt y\lnl
&=2^\frac{r}{2}\frac{\Gamma\left(\frac{n+r}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \underline{\int_0^\infty \frac{1}{\Gamma\left(\frac{n+r}{2}\right)}\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{n+r}{2} y^{\frac{n+r}{2}-1} e^{-\frac{y}{2}} \delt y}\lnl
&=2^\frac{r}{2}\frac{\Gamma\left(\frac{n+r}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\lnl
&=\frac{1}{K_{n,r}}
\end{align}

途中で下線部が自由度$n+r$のカイ二乗分布の全確率$1$となることを利用した.

従って,

\begin{align}
E\left(K_{n,r}S^r\right)&= K_{n,r}E\left(\sigma^r \sqrt{Y}^r\right) = \sigma^r
\end{align}

となるため,示された.