ex6.1.2 確率変数の累乗の期待値と期待値の二乗の不偏推定量

はじめに

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ex6.1.2

(i)

\begin{align}
E(T(\bm{X})) &= E\left(\frac{\sum_{i=1}^n {X_i}^k}{n}\right) \\
&= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E\left({X_i}^k\right)\\
&= E\left(X^k\right)
\end{align}

よって示された。
\begin{align}
S = \sum_{i=1}^n \frac{{X_i}^2}{n} – \sum_{i=1}^n \frac{(X_i – \bar{X})^2}{n-1}
\end{align}

とおく。
\begin{align}
E(S) &= E(X^2) – \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n E\left(X_i^2 – 2X_i \bar{X} + \bar{X}^2 \right)
\end{align}

ここで、
\begin{align}
E(X_i \bar{X}) &= E\left( X_i \sum_{j=1}^n \frac{X_j}{n}\right) \\
&= \frac{1}{n} (E(X^2) + (n-1)E(X)^2)\\
E(\bar{X}^2) &= E\left(\left(\sum_{i=1}^n \frac{X_i}{n}\right)^2 \right)\\
&= \frac{1}{n^2} \left(\sum_{i=1}^n E({X_i}^2) + \sum_{i\neq j} E(X_i)E(X_j)\right)\\
&= \frac{1}{n}E(X^2) + \frac{n-1}{n} E(X)^2
\end{align}

であるから、
\begin{align}
E\left(X_i^2 – 2X_i \bar{X} + \bar{X}^2 \right) &= E(X^2) – \frac{2E(X^2)+2(n-1)E(X)^2}{n}\\
&\qquad + \frac{1}{n}E(X^2) + \frac{n-1}{n}E(X)^2\\
&= \frac{n-1}{n}(E(X^2) – E(X)^2)
\end{align}

これより、
\begin{align}
E(S) &= E(X^2) – \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \left\{\frac{n-1}{n}(E(X^2) – E(X)^2)\right\}\\
&=E(X)^2
\end{align}

よって示された。