ex6.5.10 正規分布の平均と分散の信頼区間

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.5.10

与えられたデータから標本平均$\overline{X}$と標本(不偏)分散$U^2$を求めると,

\begin{align}
\overline{X}= 15.8 ,\quad U^2 \fallingdotseq 17.33
\end{align}

となる.

テキスト(6.5.5)(ii)より分散未知の場合の平均の信頼区間は,

\begin{align}
\left[\overline{X} – t_{n-1,\frac{\alpha}{2}} \frac{U}{\sqrt{n}} , \overline{X} + t_{n-1,\frac{\alpha}{2}} \frac{U}{\sqrt{n}} \right]
\end{align}

となる.$n=9,\alpha=0.1$だから巻末のT.2より
\begin{align}
t_{8,\frac{0.1}{2}} = 1.860
\end{align}

であることを用いると,求める平均の信頼区間は
\begin{align}
[13.37 , 18.23]
\end{align}

となる.

次に,テキストより(6.5.6)(ii)より平均未知の場合の分散の信頼区間は,

\begin{align}
\left[ \frac{\displaystyle \ssum_{i=1}^n \left(X_i – \overline{X}\right)^2}{{\chi^2}_{n-1,\frac{\alpha}{2}}} , \frac{\displaystyle \ssum_{i=1}^n \left(X_i – \overline{X}\right)^2}{{\chi^2}_{n-1,1-\frac{\alpha}{2}}} \right]
\end{align}

となる.$\displaystyle \ssum_{i=1}^n \left(X_i – \overline{X}\right)^2 = (n-1)U^2 = 138.64$であることと,巻末の(T.3)より
\begin{align}
{\chi^2}_{8,0.05} = 15.507 , \quad {\chi^2}_{8,0.95} = 2.7326
\end{align}

である.従って,求める分散の信頼区間は
\begin{align}
[8.94, 50.73]
\end{align}

である.
(テキストの解答の信頼区間の上限は$50.78$と記載されていますが, 何らかの誤植か誤差によるものと思われます)