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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex3.3.4

$ X \sim Po(\lambda) $とする。
$ P(X=1) = P(X=2) $より、

\begin{align}
&\frac{e^{-\lambda}\lambda^1}{1!} = \frac{e^{-\lambda}\lambda^2}{2!}\\
&\Rightarrow \lambda = 2
\end{align}

(i)
ポアソン分布の確率関数から、

\begin{align}
P(X=0) = e^{-2}
\end{align}

(i)
ポアソン分布の確率関数から、

\begin{align}
P(X=5) = \frac{e^{-2} 2^5}{5!}
\end{align}

(iii)
ポアソン分布の期待値、分散は$ \lambda $に等しいから、

\begin{align}
E(X) = V(X) = 2
\end{align}