ex7.3.4 平均・分散未知の2つ正規母集団で分散が等しいとする帰無仮説に関する尤度比検定

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex7.3.4

(i)全パラメータ空間でのパラメータ$\mu_1,\mu_2,{\sigma_1}^2,{\sigma_2}^2$の最尤推定量$\hat{\mu}_1, \hat{\mu}_2 , {\hat{\sigma}_1}^2,{\hat{\sigma}_2}^2$を求める

尤度関数$L=L\Big((\mu_1,\mu_2,{\sigma_1}^2,{\sigma_2}^2);(\bm{x},\bm{y})\Big)$は,

\begin{align}
L = \prod_{i=1}^n \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi{\sigma_1}^2}}\exp\left(-\frac{(x_i-\mu_1)^2}{2{\sigma_1}^2}\right)\right)\cdot \prod_{i=1}^m \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi{\sigma_2}^2}}\exp\left(-\frac{(y_i-\mu_2)^2}{2{\sigma_2}^2}\right)\right)
\end{align}

なので,対数尤度関数$l=\log L$は,
\begin{align}
l = -\frac{n}{2}\log(2\pi {\sigma_1}^2) – \sum_{i=1}^n \frac{(x_i-\mu_1)^2}{2{\sigma_1}^2} -\frac{m}{2}\log(2\pi {\sigma_2}^2) – \sum_{i=1}^m \frac{(y_i-\mu_2)^2}{2{\sigma_2}^2}
\end{align}

である.これを各パラメータで偏微分すると,
\begin{align}
&\frac{\partial}{\partial \mu_1}l = \frac{1}{{\sigma_1}^2}\sum_{i=1}^n (x_i – \mu_1) \lnl
&\frac{\partial}{\partial \mu_2}l = \frac{1}{{\sigma_2}^2}\sum_{i=1}^m (y_i – \mu_2) \lnl
&\frac{\partial}{\partial {\sigma_1}^2}l = -\frac{n}{2{\sigma_1}^2} + \sum_{i=1}^n \frac{(x_i-\mu_1)^2}{2{\sigma_1}^4}\lnl
&\frac{\partial}{\partial {\sigma_2}^2}l = -\frac{m}{2{\sigma_2}^2} + \sum_{i=1}^m \frac{(y_i-\mu_2)^2}{2{\sigma_2}^4}
\end{align}

である.これらを$0$とおいて解き(増減を調べて), 各パラメータの最尤推定量$\hat{\mu}_1, \hat{\mu}_2 , {\hat{\sigma}_1}^2,{\hat{\sigma}_2}^2$は,
\begin{align}
&\hat{\mu}_1 = \overline{x}\lnl
&\hat{\mu}_2 = \overline{y}\lnl
&{\hat{\sigma}_1}^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2 \label{eq-734-1}\lnl
&{\hat{\sigma}_2}^2= \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m (y_i-\overline{y})^2\label{eq-734-2}
\end{align}

と求まる.

(ii)帰無仮説$H_0$のもとでのパラメータ$\mu_1,\mu_2,\sigma^2 = {\sigma_1}^2= {\sigma_2}^2$の最尤推定量$\hat{\mu}_{10}, \hat{\mu}_{20} , {\hat{\sigma}_0}^2$を求める

$H_0$のもと${\sigma_1}^2 = {\sigma_2}^2$なのでこれを$\sigma^2$とすれば, 対数尤度関数$l_0$は,

\begin{align}
l_0 = -\frac{n+m}{2}\log(2\pi \sigma^2) – \frac{1}{2\sigma^2}\left( \sum_{i=1}^n (x_i – \mu_1)^2 + \sum_{i=1}^m(y_i-\mu_2)^2\right)
\end{align}

となる.これを各パラメータで偏微分すると,
\begin{align}
&\frac{\partial}{\partial \mu_1}l_0 = \frac{1}{{\sigma}^2}\sum_{i=1}^n (x_i – \mu_1) \lnl
&\frac{\partial}{\partial \mu_2}l_0 = \frac{1}{{\sigma}^2}\sum_{i=1}^m (y_i – \mu_2) \lnl
&\frac{\partial}{\partial {\sigma}^2}l_0 = -\frac{n+m}{2{\sigma}^2} + \frac{1}{2\sigma^4}\left(\sum_{i=1}^n (x_i-\mu_1)^2 + \sum_{i=1}^m (y_i-\mu_2)^2 \right)
\end{align}

である.これらを$0$とおいて解き(増減を調べて), 各パラメータの最尤推定量$\hat{\mu}_{10}, \hat{\mu}_{20} , {\hat{\sigma}_0}^2$は,
\begin{align}
&\hat{\mu}_{10} = \overline{x}\lnl
&\hat{\mu}_{20} = \overline{y}\lnl
&{\hat{\sigma}_0}^2 = \frac{1}{n+m}\left(\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2 + \sum_{i=1}^m (y_i-\overline{y})^2 \right)\label{eq-734-3}
\end{align}

(iii)尤度比関数$\lambda(\bm{x},\bm{y})$を求める

(i)で求めた最尤推定量から,

\begin{align}
L &= (2\pi{\hat{\sigma}_1}^2)^{-\frac{n}{2}}(2\pi{\hat{\sigma}_2}^2)^{-\frac{m}{2}} \exp\left(-\frac{1}{2{\underline{\hat{\sigma}_1}^2}}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2 – \frac{1}{2{\underline{\hat{\sigma}_2}^2}}\sum_{i=1}^n(y_i-\overline{y})^2 \right)\lnl
&= (2\pi{\hat{\sigma}_1}^2)^{-\frac{n}{2}}(2\pi{\hat{\sigma}_2}^2)^{-\frac{m}{2}}\exp\left(-\frac{n+m}{2}\right) \qquad (\because \text{下線部に}\eqref{eq-734-1},\eqref{eq-734-2}\text{を代入})
\end{align}

同様にして(ii)で求めた$H_0$のもとでの最尤推定量から, $H_0$での尤度関数$L_0$は,
\begin{align}
L_0 &= (2\pi{\hat{\sigma}_0}^2)^{-\frac{n+m}{2}} \exp\left(-\frac{1}{2{\underline{\hat{\sigma}_0}^2}} \left( \sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2 + \sum_{i=1}^m (y_i-\overline{y})^2 \right)\right)\lnl
&= (2\pi{\hat{\sigma}_0}^2)^{-\frac{n+m}{2}} \exp\left(-\frac{n+m}{2}\right) \qquad (\because \text{下線部に}\eqref{eq-734-3}\text{を代入})
\end{align}

従って尤度比関数$\lambda(\bm{x},\bm{y})$は,
\begin{align}
\lambda(\bm{x},\bm{y}) &= \frac{L_0}{L} = \left(\frac{{\hat{\sigma}_0}^2}{{\hat{\sigma}_1}^2}\right)^{-\frac{n}{2}} \left(\frac{{\hat{\sigma}_0}^2}{{\hat{\sigma}_2}^2}\right)^{-\frac{m}{2}}\lnl
&=\sqrt{\frac{n^{-n} m^{-m}}{(n+m)^{-(n+m)}}} \cdot \left( 1 + \frac{\displaystyle \ssum_{i=1}^m(y_i-\overline{y})^2}{\displaystyle \ssum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2} \right)^{-\frac{n}{2}} \cdot \left( 1 + \underline{\frac{\displaystyle \ssum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2}{\displaystyle \ssum_{i=1}^m (y_i-\overline{y})^2}} \right)^{-\frac{m}{2}} \lnl
&=K\left(1+\frac{1}{T}\right)^{-\frac{n}{2}} \left(1+T\right)^{-\frac{m}{2}}\qquad(\text{下線部を}T , \text{係数部分を}K\text{とおいた})
\end{align}

(iv)$P(\lambda(\bm{x},\bm{y})< c) = \alpha$となる棄却域を求める

$\lambda(\bm{x},\bm{y}) < c$は, 適当な$c_1,c_2$を定めれば$T < c_1 , T > c_2$と同じことである.また,

\begin{align}
F=\frac{m-1}{n-1}T &= \frac{m-1}{n-1}\cdot \frac{\displaystyle \ssum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2}{\displaystyle \ssum_{i=1}^m (y_i-\overline{y})^2}\lnl
&= \frac{\displaystyle \ssum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2/(n-1)}{\displaystyle \ssum_{i=1}^m (y_i-\overline{y})^2/(m-1)}
\end{align}

となる.これは自由度$(n-1,m-1)$の$F$分布に従う.$\cfrac{n-1}{m-1}c_1 , \cfrac{n-1}{m-1}c_2$を改めて$c_1,c_2$とおくことにする.

以上より,

\begin{align}
P(F_{n-1,m-1} < c_1 \text{または} F_{n-1,m-1} > c_2)=\alpha
\end{align}

となるように$c_1,c_2$を選び,$F < c_1$または$F > c_2$ならば$H_0$を棄却する検定は大きさ$\alpha$の検定となる.

(v)検出力関数を求める

検出力関数$\beta({\sigma_1}^2,{\sigma_2}^2)$は,

\begin{align}
\beta({\sigma_1}^2,{\sigma_2}^2) = P\left(F_{n-1,m-1} < \frac{{\sigma_2}^2}{{\sigma_1}^2}c_1 \text{または} F_{n-1,m-1} > \frac{{\sigma_2}^2}{{\sigma_1}^2}c_2 \right)
\end{align}

である.