ex6.4.3 一様分布のパラメータのモーメント法推定量

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.4.3

与えられた一様分布$\mathrm{U}(\alpha,\beta)$の平均$\mu$と分散$\sigma^2$は,

\begin{align}
&\mu = \frac{\alpha + \beta}{2} \Longleftrightarrow \alpha = 2\mu – \beta \label{eq-mu}\lnl
&\sigma^2 = \frac{(\beta – \alpha)^2}{12}\label{eq-var}
\end{align}

である.
$\eqref{eq-mu}$の右側の式を$\eqref{eq-var}$に代入して,
\begin{align}
\sigma^2 = \frac{\big(\beta – (2\mu -\beta)\big)^2}{12} = \frac{1}{3}(\beta – \mu)^2
\end{align}

ここで,$\sigma^2$のモーメント法推定量$\hat{\sigma}^2$は
\begin{align}
\hat{\sigma}^2 = M_2 – {M_1}^2 = \cfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left({X_i} – \overline{X}\right)^2
\end{align}

であるので,$\beta$のモーメント法推定量$\hat{\beta}$は,
\begin{align}
&\frac{1}{3}(\hat{\beta} – \mu)^2 = \cfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left({X_i} – \overline{X}\right)^2\lnl
\Longrightarrow & \hat{\beta} – \mu = \sqrt{\frac{3}{n} \sum_{i=1}^n\left({X_i} – \overline{X}\right)^2}\lnl
\Longrightarrow & \hat{\beta} = \overline{X} + \sqrt{\frac{3}{n} \sum_{i=1}^n\left({X_i} – \overline{X}\right)^2}\lnl
\end{align}

ただし,$\mu$のモーメント法推定量が$M_1=\overline{X}$であること, $\beta – \mu>0$であることを用いた.

また,$\eqref{eq-mu}$の右側の式に$\hat{\beta}$を代入して

\begin{align}
\hat{\alpha} = \overline{X} – \sqrt{\frac{3}{n} \sum_{i=1}^n\left({X_i} – \overline{X}\right)^2}\lnl
\end{align}

となり示された.