ex6.3.7 一様分布の上限の最尤推定量(MLE)と漸近分布

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.3.7

誤植?

問題文では「$X_{(n)}$の漸近分布は指数分布であることを示せ」と書いてありますが,$X_{(n)}$の値域は$[0,\theta]$であり指数分布の値域と合いません.

「$n\big[\theta- X_{(n)}\big]$の漸近分布は指数分布であることを示せ」と読み替えて解答します.

解答

$\varphi(x)$を

\begin{align}
\varphi(x)=\begin{cases}1&x\ge 0\\ 0 & x< 0\end{cases} \end{align}
と定義する.与えられた一様分布の確率密度関数は
\begin{align} f(x;\theta) = \frac{1}{\theta}\varphi(\theta - x)\varphi(x) \end{align}
と表せる.尤度関数は
\begin{align} L(\theta ;\bm{x}) = \frac{1}{\theta^n}\prod_{i=1}^n \varphi(\theta - x_i)\cdot \prod_{i=1}^n \varphi(x_i) \end{align}
となる.ここで$x_{(n)} = \max_{i}\{x_i\}$とおくと,
\begin{align} &\prod_{i=1}^n \varphi(\theta - x_i) = \varphi(\theta - x_{(n)})\lnl &\prod_{i=1}^n \varphi(x_i) = 1 \end{align}
なので,
\begin{align} L(\theta ;\bm{x}) = \frac{1}{\theta^n} \varphi(\theta - x_{(n)}) \end{align}
となる.これを最大化する$\theta=\hat{\theta}$は, $\theta-x_{(n)} \ge 0$を満たす$\theta$のうち最小のものである.すなわち
\begin{align} \hat{\theta} = X_{(n)} \end{align}
となる. 次に,$n\big[\theta- X_{(n)}\big]$の漸近分布を求める. $X_{(n)}$の確率密度関数は$\cfrac{nx^{n-1}}{\theta^n}$なので,
\begin{align} P\left(n\big[\theta- X_{(n)}\big] \le t\right) &= P\left(X_{n} \ge \theta - \frac{t}{n}\right)\lnl &= \int_{\theta - \frac{t}{n}}^\theta \cfrac{nx^{n-1}}{\theta^n} \delt x\lnl &= 1 - \left(\frac{n - \frac{t}{\theta}}{n}\right)^n \end{align}
これは$n\to \infty$のとき$ 1-e^{-\frac{t}{\theta}}$となる.パラメータ$\cfrac{1}{\theta}$の指数分布の分布関数であるので示された. MLEが一致推定量であることを示す.テキスト(6.1.6)より$\mathrm{MSE}(X_{(n)} -\theta) \to 0 ,(n\to \infty)$を示せばよい.
\begin{align} \mathrm{MSE}(X_{(n)} -\theta) &= E\Big((X_{(n)}-\theta)^2\Big)\lnl &= \int_0^\theta (x-\theta)^2 \frac{n}{\theta^n}x^{n-1}\delt x\lnl &= \left(\frac{n}{n+2} - \frac{2n}{n+1} + 1\right)\theta^2 \to 0 \end{align}
であるので示された.