はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。
また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex6.3.7
誤植?
問題文では「$X_{(n)}$の漸近分布は指数分布であることを示せ」と書いてありますが,$X_{(n)}$の値域は$[0,\theta]$であり指数分布の値域と合いません.
「$n\big[\theta- X_{(n)}\big]$の漸近分布は指数分布であることを示せ」と読み替えて解答します.
解答
$\varphi(x)$を
\begin{align}
\varphi(x)=\begin{cases}1&x\ge 0\\ 0 & x< 0\end{cases} \end{align}
と定義する.与えられた一様分布の確率密度関数は
\varphi(x)=\begin{cases}1&x\ge 0\\ 0 & x< 0\end{cases} \end{align}
\begin{align}
f(x;\theta) = \frac{1}{\theta}\varphi(\theta - x)\varphi(x)
\end{align}
と表せる.尤度関数は
\begin{align}
L(\theta ;\bm{x}) = \frac{1}{\theta^n}\prod_{i=1}^n \varphi(\theta - x_i)\cdot \prod_{i=1}^n \varphi(x_i)
\end{align}
となる.ここで$x_{(n)} = \max_{i}\{x_i\}$とおくと,
\begin{align}
&\prod_{i=1}^n \varphi(\theta - x_i) = \varphi(\theta - x_{(n)})\lnl
&\prod_{i=1}^n \varphi(x_i) = 1
\end{align}
なので,
\begin{align}
L(\theta ;\bm{x}) = \frac{1}{\theta^n} \varphi(\theta - x_{(n)})
\end{align}
となる.これを最大化する$\theta=\hat{\theta}$は, $\theta-x_{(n)} \ge 0$を満たす$\theta$のうち最小のものである.すなわち
\begin{align}
\hat{\theta} = X_{(n)}
\end{align}
となる.
次に,$n\big[\theta- X_{(n)}\big]$の漸近分布を求める.
$X_{(n)}$の確率密度関数は$\cfrac{nx^{n-1}}{\theta^n}$なので,
\begin{align}
P\left(n\big[\theta- X_{(n)}\big] \le t\right) &= P\left(X_{n} \ge \theta - \frac{t}{n}\right)\lnl
&= \int_{\theta - \frac{t}{n}}^\theta \cfrac{nx^{n-1}}{\theta^n} \delt x\lnl
&= 1 - \left(\frac{n - \frac{t}{\theta}}{n}\right)^n
\end{align}
これは$n\to \infty$のとき$ 1-e^{-\frac{t}{\theta}}$となる.パラメータ$\cfrac{1}{\theta}$の指数分布の分布関数であるので示された.
MLEが一致推定量であることを示す.テキスト(6.1.6)より$\mathrm{MSE}(X_{(n)} -\theta) \to 0 ,(n\to \infty)$を示せばよい.
\begin{align}
\mathrm{MSE}(X_{(n)} -\theta) &= E\Big((X_{(n)}-\theta)^2\Big)\lnl
&= \int_0^\theta (x-\theta)^2 \frac{n}{\theta^n}x^{n-1}\delt x\lnl
&= \left(\frac{n}{n+2} - \frac{2n}{n+1} + 1\right)\theta^2 \to 0
\end{align}
であるので示された.