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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

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(i)
定義に従ってそれぞれ計算すると、

\begin{align}
E(X) &= \int_0^1 x\cdot 6x(1-x) \delt x = \frac{1}{2}\\
E(X^2) &=\int_0^1 x^2 \cdot 6x(1-x) \delt x = \frac{3}{10}\\
E(X^3) &=\int_0^1 x^3 \cdot 6x(1-x) \delt x = \frac{1}{5}\\
V(X) &= E(X^2) – E(X)^2 = \frac{1}{20}\\
SD(X) &= \sqrt{V(X)} = \frac{1}{\sqrt{20} }
\end{align}

(ii)
期待値の線形性を用いて、

\begin{align}
E(Y) &= E(-3X + 10) \lnl
&= -3(EX) + 10 \lnl
&= \frac{17}{2}\Lnl
E(Y^2) &= E((-3X+10)^2) \lnl
&= E(9X^2 -60X + 100) \lnl
&= 9E(X^2) – 60E(X) + 100 \lnl
&= \frac{727}{10}
\end{align}

分散は、

\begin{align}
V(Y) = V(-3X+10) = (-3)^2V(X) = \frac{9}{20}
\end{align}

(iii)
メジアン$ m $は次を満たす

\begin{align}
\frac{1}{2} = \int_0^m f_X(x) \delt x
\end{align}

$ f_X(x) = 6x(1-x) $は$ x = \cfrac{1}{2} $で対称であるので、$ m = \cfrac{1}{2} $となる。