ex6.A.2 ポアソン分布の平均の最尤推定量(MLE)

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.A.2

与えられたランダム標本を$X_i ,i=1,\cdots,12$とし, 母集団分布に従う確率変数を$X$とする.

(ex6.3.5)より,$\lambda$のMLE $\hat{\lambda}$は$\hat{\lambda} = \overline{X}$となる.ポアソン分布の平均は$\lambda$と等しいので平均の最尤推定値も$\overline{X}$となる.

従って

\begin{align}
\overline{X}= \frac{1+0+2+\cdots+2}{12} = 1.5
\end{align}

が平均の最尤推定値となる.

次に,1か月死亡事故発生件数$0$の確率を$p=P(X=0)$とする.ポアソン分布の確率関数より

\begin{align}
p = \frac{\lambda^0}{0!}e^{-\lambda} = e^{-\lambda}
\end{align}

である.テキスト(6.3.3)のNOTE(3)より$p$の最尤推定量$\hat{p}$は,
\begin{align}
\hat{p} = e^{-\hat{\lambda}} = e^{-1.5} = 0.223
\end{align}

となる.