ex3.A.5 対数正規分布の確率密度関数・期待値・分散の導出

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex3.A.5

ここでは対数正規分布を扱います。
$\require{cancel}$

(i)確率密度関数の導出

$Y \sim N(\mu,\sigma^2) , X= e^Y$である。このとき、

\begin{align}
F_X(x) &= P(X \le x)\\
&=P(e^Y \le x)\\
&=P(Y \le \log x)\\
&=F_Y(\log x)
\end{align}

である。
なお、$e^{Y} \le x$より、$ x > 0$である。
\begin{align}
f_X(x) &= \frac{d}{dx} F_Y(\log x)\\
&=F_Y'(\log x) \cdot \frac{1}{x}\\
&=f_Y(\log x) \cdot \frac{1}{x}\\
&= \frac{1}{x\sqrt{2\pi} \sigma} \exp\left[-\frac{1}{2\sigma^2}(\log x-\mu)^2\right]
\end{align}

$f_Y(\cdot)$が正規分布の密度関数であることを用いた。
なお、$x \le 0$のときは、$F_X(x) = 0$となる。
以上で示された。

(ii)期待値・分散の導出

期待値

定義通りに計算する。
途中で、$t= \log x$と置換して積分する。このとき、

\begin{align}
\begin{cases} x= e^t\\
dx = e^t dt\\
0 < x < \infty \Leftrightarrow -\infty < t < \infty \end{cases} \end{align}
であるから、
\begin{align} E(X) &= \int_0^{\infty} \cancel{x} \cdot \frac{1}{\cancel{x}\sqrt{2\pi} \sigma} \exp\left[-\frac{1}{2\sigma^2}(\log x-\mu)^2\right]dx\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left[-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]\cdot \textcolor{red}{\exp(t)} dt\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left[-\frac{(t-\mu)^2\textcolor{red}{- 2\sigma^2 t}}{2\sigma^2 }\right] dt\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left[-\frac{\{t-(\mu+\sigma^2)\}^2 }{2\sigma^2 } +\textcolor{blue}{ \mu +\frac{\sigma^2}{2}} \right]dt\\ &=\textcolor{blue}{e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left[-\frac{\{t-(\mu+\sigma^2)\}^2 }{2\sigma^2 }\right]dt\\ &=e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}} \end{align}
なお、最後の変形で、積分部分で被積分関数が期待値$\mu+\sigma^2$、分散$\sigma^2$の正規分布の密度関数に等しく、定義域すべてで積分すると全確率$1$となることを利用した。 以上で示された。

分散

$E(X^2)$を求める。
期待値と同様に$t= \log x$と置換して積分する。

\begin{align}
E(X) &= \int_0^{\infty} x^{\cancel{2}}\cdot \frac{1}{\cancel{x}\sqrt{2\pi} \sigma} \exp\left[-\frac{1}{2\sigma^2}(\log x-\mu)^2\right]dx\\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left[-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]\cdot \textcolor{red}{\exp(2t)} dt\\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left[-\frac{(t-\mu)^2\textcolor{red}{- 4\sigma^2 t}}{2\sigma^2 }\right] dt\\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left[-\frac{\{t-(\mu+2\sigma^2)\}^2 }{2\sigma^2 } + \textcolor{blue}{ 2\mu +2\sigma^2}\right] dt\\
&=\textcolor{blue}{e^{2\mu+2\sigma^2}} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left[-\frac{\{t-(\mu+2\sigma^2)\}^2 }{2\sigma^2 }\right] dt\\
&=e^{2\mu+2\sigma^2}
\end{align}

ここでも最後の変形で、積分部分で被積分関数が期待値$2\mu+2\sigma^2$、分散$\sigma^2$の正規分布の密度関数に等しく、定義域すべてで積分すると全確率$1$となることを利用した。
以上より、
\begin{align}
V(X) = E(X^2) – E(X)^2 = e^{2\mu+2\sigma^2} – e^{2\mu+\sigma^2}
\end{align}

となり、示された。