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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

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2年生の割合:$ p_2 = 0.5 $ , 3年生の割合:$ p_3 = 0.3 $ , 4年生の割合:$ p_4 = 0.2 $とする。
また、i年生の人数:$ X_i $とする。
(i)
多項分布の確率関数から、

\begin{align}
P(X_2 = 5 , X_3 = 4 , X_4 = 1) = \frac{{10}!}{5!4!1!} (0.5)^5(0.3)^4(0.2)^1
\end{align}

(ii)
3年生と4年生を合わせた数Yとする。その割合は0.5 (= $ p_3+p_4 $)であるから、

\begin{align}
P(Y \ge 8) &= P(Y=8) + P(Y=9) + P(Y=10) \lnl
&= \frac{10!}{2!8!}(0.5)^{10} + \frac{10!}{1!9!}(0.5)^{10} + \frac{10!}{10!}(0.5)^{10} \lnl
&= 56(0.5)^{10}
\end{align}

(iii)
$ X_4 $の周辺分布はパラメータ 10,$ p_4 = 0.2 $の二項分布であるから、その期待値は

\begin{align}
E(X_4) = 10\times 0.2 =2
\end{align}

よって2人。