はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex7.2.1
指数分布の密度関数は, $x>0$で
\begin{align}
f(x;\lambda) = \lambda \exp(-\lambda x)
\end{align}
f(x;\lambda) = \lambda \exp(-\lambda x)
\end{align}
である.
\begin{align}
\frac{\prod_{i=1}^n f(x_i;\lambda_1)}{\prod_{i=1}^n f(x_i;\lambda_0)} = \left(\frac{\lambda_1}{\lambda_0}\right)^n \exp\left((\lambda_0 – \lambda_1) \sum_{i=1}^n x_i \right)
\end{align}
\frac{\prod_{i=1}^n f(x_i;\lambda_1)}{\prod_{i=1}^n f(x_i;\lambda_0)} = \left(\frac{\lambda_1}{\lambda_0}\right)^n \exp\left((\lambda_0 – \lambda_1) \sum_{i=1}^n x_i \right)
\end{align}
となるので, ネイマン・ピアソンの補助定理より, ある定数$k$で,
\begin{align}
\left(\frac{\lambda_1}{\lambda_0}\right)^n \exp\left((\lambda_0 – \lambda_1) \sum_{i=1}^n x_i \right) > k
\end{align}
\left(\frac{\lambda_1}{\lambda_0}\right)^n \exp\left((\lambda_0 – \lambda_1) \sum_{i=1}^n x_i \right) > k
\end{align}
ならば帰無仮説を棄却する.これは,
\begin{align}
\sum_{i=1}^n x_i < \frac{1}{\lambda_0 -\lambda_1}\left(\log k - n\log\left(\frac{\lambda_1}{\lambda_0}\right)\right) \end{align}
のとき帰無仮説を棄却することと同じことである.この検定が求めるMP検定である.
\sum_{i=1}^n x_i < \frac{1}{\lambda_0 -\lambda_1}\left(\log k - n\log\left(\frac{\lambda_1}{\lambda_0}\right)\right) \end{align}
水準$\alpha$になるように定数を求める.
$H_0$のもとで, $T=\displaystyle \sum_{i=1}^n X_i$とすると, $T$はガンマ分布$\mathrm{Ga}(n,\lambda_0)$に従う.(指数分布のランダム標本の和はガンマ分布になることから.詳細はex4.1.3参照.)
よって,$P(T < c) =\alpha$となる$c$は,
\begin{align}
\alpha = \int_0^c \frac{{\lambda_0}^n}{\Gamma(n)}t^{n-1} \exp(-\lambda_0 t) \delt t
\end{align}
を満たす.
以上をまとめると, 水準$\alpha$のMP検定は, 次のような検定関数$\varphi$を持つ検定である.
\begin{align}
\varphi(\bm{X}) = \begin{cases}
1&\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i < c\lnl
0&\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i \ge c\lnl
\end{cases}
\end{align}
ただし, $c$は
\begin{align}
\alpha = \int_0^c \frac{{\lambda_0}^n}{\Gamma(n)}t^{n-1} \exp(-\lambda_0 t) \delt t
\end{align}
を満たす.