ex7.2.1 指数分布のMP検定

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex7.2.1

指数分布の密度関数は, $x>0$で

\begin{align}
f(x;\lambda) = \lambda \exp(-\lambda x)
\end{align}

である.
\begin{align}
\frac{\prod_{i=1}^n f(x_i;\lambda_1)}{\prod_{i=1}^n f(x_i;\lambda_0)} = \left(\frac{\lambda_1}{\lambda_0}\right)^n \exp\left((\lambda_0 – \lambda_1) \sum_{i=1}^n x_i \right)
\end{align}

となるので, ネイマン・ピアソンの補助定理より, ある定数$k$で,
\begin{align}
\left(\frac{\lambda_1}{\lambda_0}\right)^n \exp\left((\lambda_0 – \lambda_1) \sum_{i=1}^n x_i \right) > k
\end{align}

ならば帰無仮説を棄却する.これは,
\begin{align}
\sum_{i=1}^n x_i < \frac{1}{\lambda_0 -\lambda_1}\left(\log k - n\log\left(\frac{\lambda_1}{\lambda_0}\right)\right) \end{align}
のとき帰無仮説を棄却することと同じことである.この検定が求めるMP検定である.

水準$\alpha$になるように定数を求める.

$H_0$のもとで, $T=\displaystyle \sum_{i=1}^n X_i$とすると, $T$はガンマ分布$\mathrm{Ga}(n,\lambda_0)$に従う.(指数分布のランダム標本の和はガンマ分布になることから.詳細はex4.1.3参照.)

よって,$P(T < c) =\alpha$となる$c$は,

\begin{align} \alpha = \int_0^c \frac{{\lambda_0}^n}{\Gamma(n)}t^{n-1} \exp(-\lambda_0 t) \delt t \end{align}
を満たす. 以上をまとめると, 水準$\alpha$のMP検定は, 次のような検定関数$\varphi$を持つ検定である.
\begin{align} \varphi(\bm{X}) = \begin{cases} 1&\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i < c\lnl 0&\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i \ge c\lnl \end{cases} \end{align}
ただし, $c$は
\begin{align} \alpha = \int_0^c \frac{{\lambda_0}^n}{\Gamma(n)}t^{n-1} \exp(-\lambda_0 t) \delt t \end{align}
を満たす.