はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。
また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex3.3.6
ex3.3.5より
\begin{align}
&\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)} = \frac{\lambda}{k+1} \ge 1 \\
& \Leftrightarrow k \le \lambda – 1
\end{align}
&\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)} = \frac{\lambda}{k+1} \ge 1 \\
& \Leftrightarrow k \le \lambda – 1
\end{align}
(1) $ \lambda $が整数のとき、
\begin{align}
P(X = 0) < &P(X=1) < \cdots <\\ &\quad P(\lambda - 1) = P(\lambda) \\ &\qquad > P(\lambda + 1) > \cdots
\end{align}
P(X = 0) < &P(X=1) < \cdots <\\ &\quad P(\lambda - 1) = P(\lambda) \\ &\qquad > P(\lambda + 1) > \cdots
\end{align}
(2) $ \lambda $が整数でないとき、$ z $を$ \lambda $を超えない最大の整数とする。
$ z-1 < \lambda - 1 < z < \lambda < z+1 $より、
\begin{align}
P(X = 0) < P(X=1)& < \cdots < P(z-1) <\\
&\quad P(z) \\
&\qquad > P(z + 1) > \cdots
\end{align}
\end{align}
よって示された。