ex3.3.6

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex3.3.6

ex3.3.5より

\begin{align}
&\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)} = \frac{\lambda}{k+1} \ge 1 \\
& \Leftrightarrow k \le \lambda – 1
\end{align}

(1) $ \lambda $が整数のとき、

\begin{align}
P(X = 0) < &P(X=1) < \cdots <\\ &\quad P(\lambda - 1) = P(\lambda) \\ &\qquad > P(\lambda + 1) > \cdots
\end{align}

(2) $ \lambda $が整数でないとき、$ z $を$ \lambda $を超えない最大の整数とする。
$ z-1 < \lambda - 1 < z < \lambda < z+1 $より、

\begin{align} P(X = 0) < P(X=1)& < \cdots < P(z-1) <\\ &\quad P(z) \\ &\qquad > P(z + 1) > \cdots
\end{align}

よって示された。