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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex3.8.1

\begin{align}
f'(x) &= \left( \frac{1}{B(\alpha , \beta ) } x^{\alpha – 1} (1-x)^{\beta -1}\right)’\lnl
&=\frac{1}{B(\alpha , \beta ) } \{(\alpha – 1)x^{\alpha -2}(1-x)^{\beta -1} + (\beta – 1)(-1)x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -2}\}\lnl
&=\frac{1}{B(\alpha , \beta ) }\{ (\alpha – 1)(1-x) – (\beta – 1) x \} x^{\alpha -2 } (1-x)^{\beta -2 }\lnl
&=\frac{1}{B(\alpha , \beta ) }\{ (\alpha – 1) – (\alpha + \beta – 2) x \} x^{\alpha -2 } (1-x)^{\beta -2 }
\end{align}

$ 0 < x < 1 $で$ f'(x) = 0 $を解いて、

\begin{align} x = \frac{\alpha - 1}{\alpha + \beta - 2} \end{align}
※これが、$ 0 < x < 1 $となることは $ \alpha > 1 , \beta > 1 $より容易にわかる。
増減表は、

\begin{array}{|c|*5{c|}} \hline
x& 0 & \cdots & \frac{\alpha-1}{\alpha + \beta – 2} & \cdots & 1\\ \hline
f’&/&+&0&- & /\\ \hline
f & / & \nearrow & \text{Max} & \searrow & / \\ \hline
\end{array}

となり、題意が示された。