はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。
また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex2.4.2
(2.4.1)より
\begin{align}
f_W(w) &= P(W=w)\lnl
&= P(Y^2 = w)\lnl
&= \sum_{y:y^2=w} P(Y=y)\lnl
&= P(Y=\sqrt{w}) + P(Y=-\sqrt{w})\lnl
&= P(Y=\sqrt{w})&(\because y<0 \Rightarrow P(Y=y)=0)\lnl &= \begin{cases}\cfrac{1}{2^{\sqrt{w}}}&(\sqrt{w} = 1,2,3,\cdots)\lnl 0&(\text{other})\end{cases}\lnl &= \begin{cases}\cfrac{1}{2^{\sqrt{w}}} & (w = 1,4,9,\cdots)\lnl 0&(\text{other})\end{cases} \end{align}
f_W(w) &= P(W=w)\lnl
&= P(Y^2 = w)\lnl
&= \sum_{y:y^2=w} P(Y=y)\lnl
&= P(Y=\sqrt{w}) + P(Y=-\sqrt{w})\lnl
&= P(Y=\sqrt{w})&(\because y<0 \Rightarrow P(Y=y)=0)\lnl &= \begin{cases}\cfrac{1}{2^{\sqrt{w}}}&(\sqrt{w} = 1,2,3,\cdots)\lnl 0&(\text{other})\end{cases}\lnl &= \begin{cases}\cfrac{1}{2^{\sqrt{w}}} & (w = 1,4,9,\cdots)\lnl 0&(\text{other})\end{cases} \end{align}