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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex2.8.3

p95の◆NOTE◆より、M.S.E.を最小にする$Y$の予測値は$E\left(Y|X=\cfrac{1}{3}\right)$である。
また、そのときのM.S.E.は$V\left(Y|X=\cfrac{1}{3}\right)$である。
それぞれ計算すると、

\begin{align}
E\left(Y|X=\frac{1}{3}\right) &= \frac{3\cdot \cfrac{1}{3} + 2}{3\left(2 \cdot \cfrac{1}{3} + 1\right)} = \frac{3}{5}\lnl
V\left(Y|X=\frac{1}{3}\right) &= \frac{1}{36}\left\{3-\frac{1}{\left(2\cdot\cfrac{1}{3}+1\right)^2}\right\} = \frac{11}{150}
\end{align}