はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
|
間違い等発見されましたらご指摘ください。
他の解答はこちらから。
なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。
また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。
スポンサーリンク
$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex7.4.9
検定
測定器Aで測った値を$X_i (i=1,2,\cdots,7)$とし, 測定器Bで測った値を$Y_i (i=1,2,\cdots,8)$とする.
測定器Aの測定値の真の分散を${\sigma_X}^2$とし, 測定器Bの測定値の真の分散を${\sigma_Y}^2$とする. また前者の標本平均を$\overline{X}$とし,後者の標本平均を$\overline{Y}$とする.
題意より以下のとおり計算できる.
\begin{align}
&\overline{X}= \frac{11.1+12.3+\cdots+15.2}{7} \fallingdotseq 12.16\lnl
&\overline{Y}= \frac{16.2+16.2+\cdots+15.5}{8} \fallingdotseq 15.91\lnl
&{U_X}^2 = \sum_{i=1}^7 \frac{(X_i – \overline{X})^2}{7-1} \fallingdotseq \frac{23.86}{6} = 3.98\lnl
&{U_Y}^2 = \sum_{i=1}^8 \frac{(Y_i – \overline{Y})^2}{8-1} \fallingdotseq \frac{0.49}{7} = 0.07
\end{align}
&\overline{X}= \frac{11.1+12.3+\cdots+15.2}{7} \fallingdotseq 12.16\lnl
&\overline{Y}= \frac{16.2+16.2+\cdots+15.5}{8} \fallingdotseq 15.91\lnl
&{U_X}^2 = \sum_{i=1}^7 \frac{(X_i – \overline{X})^2}{7-1} \fallingdotseq \frac{23.86}{6} = 3.98\lnl
&{U_Y}^2 = \sum_{i=1}^8 \frac{(Y_i – \overline{Y})^2}{8-1} \fallingdotseq \frac{0.49}{7} = 0.07
\end{align}
である.
帰無仮説$H_0: {\sigma_X}^2 = {\sigma_Y}^2$, 対立仮説$H_1: {\sigma_X}^2 \ne {\sigma_Y}^2$の仮説検定を行う.
テキスト(7.4.5)(ii)(c)より,$F = \cfrac{{U_X}^2}{{U_Y}^2} $としたとき
\begin{align}
F > F_{n-1,m-1,\frac{\alpha}{2}} \text{または}F < F_{n-1,m-1,1-\frac{\alpha}{2}} \end{align}
であれば,帰無仮説$H_0$を棄却する.
F > F_{n-1,m-1,\frac{\alpha}{2}} \text{または}F < F_{n-1,m-1,1-\frac{\alpha}{2}} \end{align}
\begin{align}
F = \frac{{U_X}^2}{{U_Y}^2} = \frac{3.98}{0.07} \fallingdotseq 56.86
\end{align}
である.また統計表から
\begin{align}
F_{n-1,m-1,\frac{\alpha}{2}} = F_{6,7,0.025} = 5.695
\end{align}
であるので,$F > F_{n-1,m-1,\frac{\alpha}{2}}$が成り立ち,帰無仮説$H_0$が棄却され,対立仮説$H_1$が採択される.
有意確率
,$F_{6,7}$を自由度$6,7$の$F$分布に従う確率変数とし,
\begin{align}
p_0 = P(F_{6,7} < F) \end{align}
としたとき,有意確率$p$は
p_0 = P(F_{6,7} < F) \end{align}
\begin{align}
p = \begin{cases}
2 p_0 &(p_0 < 0.5)\\
2(1-p_0)&(p_0 \ge 0.5)
\end{cases}
\end{align}
である.統計表から
\begin{align}
P(F_{6,7} < 8.260) = 0.99
\end{align}
であるから,$p_0 < 0.99$となる.従って
\begin{align}
p < 2\times(1-0.99) = 0.02
\end{align}
となる.