ex7.4.9 2つの正規分布の等分散性に関する片側検定

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex7.4.9

検定

測定器Aで測った値を$X_i (i=1,2,\cdots,7)$とし, 測定器Bで測った値を$Y_i (i=1,2,\cdots,8)$とする.
測定器Aの測定値の真の分散を${\sigma_X}^2$とし, 測定器Bの測定値の真の分散を${\sigma_Y}^2$とする. また前者の標本平均を$\overline{X}$とし,後者の標本平均を$\overline{Y}$とする.
題意より以下のとおり計算できる.

\begin{align}
&\overline{X}= \frac{11.1+12.3+\cdots+15.2}{7} \fallingdotseq 12.16\lnl
&\overline{Y}= \frac{16.2+16.2+\cdots+15.5}{8} \fallingdotseq 15.91\lnl
&{U_X}^2 = \sum_{i=1}^7 \frac{(X_i – \overline{X})^2}{7-1} \fallingdotseq \frac{23.86}{6} = 3.98\lnl
&{U_Y}^2 = \sum_{i=1}^8 \frac{(Y_i – \overline{Y})^2}{8-1} \fallingdotseq \frac{0.49}{7} = 0.07
\end{align}

である.
帰無仮説$H_0: {\sigma_X}^2 = {\sigma_Y}^2$, 対立仮説$H_1: {\sigma_X}^2 \ne {\sigma_Y}^2$の仮説検定を行う.
テキスト(7.4.5)(ii)(c)より,$F = \cfrac{{U_X}^2}{{U_Y}^2} $としたとき
\begin{align}
F > F_{n-1,m-1,\frac{\alpha}{2}} \text{または}F < F_{n-1,m-1,1-\frac{\alpha}{2}} \end{align}
であれば,帰無仮説$H_0$を棄却する.
\begin{align} F = \frac{{U_X}^2}{{U_Y}^2} = \frac{3.98}{0.07} \fallingdotseq 56.86 \end{align}
である.また統計表から
\begin{align} F_{n-1,m-1,\frac{\alpha}{2}} = F_{6,7,0.025} = 5.695 \end{align}
であるので,$F > F_{n-1,m-1,\frac{\alpha}{2}}$が成り立ち,帰無仮説$H_0$が棄却され,対立仮説$H_1$が採択される.

有意確率

,$F_{6,7}$を自由度$6,7$の$F$分布に従う確率変数とし,

\begin{align}
p_0 = P(F_{6,7} < F) \end{align}
としたとき,有意確率$p$は
\begin{align} p = \begin{cases} 2 p_0 &(p_0 < 0.5)\\ 2(1-p_0)&(p_0 \ge 0.5) \end{cases} \end{align}
である.統計表から
\begin{align} P(F_{6,7} < 8.260) = 0.99 \end{align}
であるから,$p_0 < 0.99$となる.従って
\begin{align} p < 2\times(1-0.99) = 0.02 \end{align}
となる.