ex4.6.1 法則収束しない例

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex4.6.1

背理法で証明する.
$Y_n$が法則収束すると仮定する.つまりある分布$Y$があり,その分布関数$F(y)$に対して,

\begin{align}
\lim_{n\to \infty} F_n(Y) = F(y)
\end{align}

が成り立つとする.これは言い換えると,$\forall y \in \mathbb{R} , \forall \epsilon > 0 , \exists \delta_0$で,
\begin{align}
|F_\delta(y) – F(y) | < \epsilon , \forall \delta > \delta_0 \label{eq-e-d}
\end{align}

が成り立っているということである.
ここで, $\epsilon = \cfrac{1}{2}$をとり , $\delta_0 < \delta_1 < y_0 < \delta_2$なる正整数$\delta_1, \delta_2 ,y_0$を選ぶ.このとき$F_n(y)$の定義より,
\begin{align} \begin{cases}F_{\delta_1}(y_0) = 0 \\ F_{\delta_2}(y_0) = 1 \end{cases} \end{align}
となる. 一方,$\eqref{eq-e-d}$より,
\begin{align} \begin{cases} |F_{\delta_1}(y_0) - F(y_0)| < \epsilon\\ |F_{\delta_2}(y_0) - F(y_0)| < \epsilon \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} |0 - F(y_0)| < \cfrac{1}{2}\\ |1 - F(y_0)| < \cfrac{1}{2} \end{cases} \end{align}
このような不等式を満たす$F(y)$は存在しないので矛盾である. 従って,$Y_n$は法則収束しない.