はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex4.6.1
背理法で証明する.
$Y_n$が法則収束すると仮定する.つまりある分布$Y$があり,その分布関数$F(y)$に対して,
\begin{align}
\lim_{n\to \infty} F_n(Y) = F(y)
\end{align}
\lim_{n\to \infty} F_n(Y) = F(y)
\end{align}
が成り立つとする.これは言い換えると,$\forall y \in \mathbb{R} , \forall \epsilon > 0 , \exists \delta_0$で,
\begin{align}
|F_\delta(y) – F(y) | < \epsilon , \forall \delta > \delta_0 \label{eq-e-d}
\end{align}
|F_\delta(y) – F(y) | < \epsilon , \forall \delta > \delta_0 \label{eq-e-d}
\end{align}
が成り立っているということである.
ここで, $\epsilon = \cfrac{1}{2}$をとり , $\delta_0 < \delta_1 < y_0 < \delta_2$なる正整数$\delta_1, \delta_2 ,y_0$を選ぶ.このとき$F_n(y)$の定義より,
\begin{align}
\begin{cases}F_{\delta_1}(y_0) = 0 \\
F_{\delta_2}(y_0) = 1
\end{cases}
\end{align}
となる.
一方,$\eqref{eq-e-d}$より,
\begin{align}
\begin{cases}
|F_{\delta_1}(y_0) - F(y_0)| < \epsilon\\
|F_{\delta_2}(y_0) - F(y_0)| < \epsilon
\end{cases}\Longleftrightarrow
\begin{cases}
|0 - F(y_0)| < \cfrac{1}{2}\\
|1 - F(y_0)| < \cfrac{1}{2}
\end{cases}
\end{align}
このような不等式を満たす$F(y)$は存在しないので矛盾である.
従って,$Y_n$は法則収束しない.