ex6.5.7 ポアソン分布のパラメータの近似信頼区間

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.5.7

与えられたポアソン分布の分散は$\lambda$である.

また,大数の法則により,

\begin{align}
\overline{X} \xrightarrow{P} \lambda
\end{align}

である.スラツキーの定理および中心極限定理より
\begin{align}
\sqrt{n}\frac{\overline{X}-\lambda}{\sqrt{\overline{X}}} \xrightarrow{d} \mathrm{N}(0,1)
\end{align}

となる.従って$n$が十分大きいとき
\begin{align}
P\left( -z_\frac{\alpha}{2} \le \sqrt{n}\frac{\overline{X}-\lambda}{\sqrt{\overline{X}}} \le z_\frac{\alpha}{2}\right) \fallingdotseq 1-\alpha \label{eq-poi}
\end{align}

が成り立つ.$\eqref{eq-poi}$の左辺は
\begin{align}
P\left(\overline{X} – z_\frac{\alpha}{2}\sqrt{\frac{\overline{X}}{n} } \le \lambda \le \overline{X} + z_\frac{\alpha}{2}\sqrt{\frac{\overline{X}}{n} } \right)
\end{align}

と変形できるから,
\begin{align}
\left[\overline{X} – z_\frac{\alpha}{2}\sqrt{\frac{\overline{X}}{n} } , \overline{X} + z_\frac{\alpha}{2}\sqrt{\frac{\overline{X}}{n} } \right]
\end{align}

が$\lambda$の$100(1-\alpha)$%近似信頼区間となる.