はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex6.A.7
確率変数$X$を
\begin{align}
X\sim \mathrm{U}(\theta_1 – \theta_2 , \theta_1 + \theta_2)
\end{align}
X\sim \mathrm{U}(\theta_1 – \theta_2 , \theta_1 + \theta_2)
\end{align}
と定義する.$(\theta_2> 0)$
このとき,
\begin{align}
E(X) = \frac{(\theta_1-\theta_2) + (\theta_1 + \theta_2)}{2} = \theta_1
\end{align}
E(X) = \frac{(\theta_1-\theta_2) + (\theta_1 + \theta_2)}{2} = \theta_1
\end{align}
なので,$\theta_1$のモーメント法推定量$\hat{\theta}_1$は,
\begin{align}
\hat{\theta}_1 = M_1 = \overline{X}
\end{align}
\hat{\theta}_1 = M_1 = \overline{X}
\end{align}
となる.
この一様分布の分散は,
\begin{align}
V(X) = \frac{((\theta_1 – \theta_2) – (\theta_1+\theta_2))^2}{12} = \frac{{\theta_2}^2}{3}
\end{align}
V(X) = \frac{((\theta_1 – \theta_2) – (\theta_1+\theta_2))^2}{12} = \frac{{\theta_2}^2}{3}
\end{align}
となる.
テキスト(例6.4.1)より,
\begin{align}
V(X) = \sum_{i=1}^n \frac{\left(X_i – \overline{X}\right)^2}{n}
\end{align}
V(X) = \sum_{i=1}^n \frac{\left(X_i – \overline{X}\right)^2}{n}
\end{align}
であるから,$\theta_2$のモーメント法推定量$\hat{\theta}_2$は,
\begin{align}
\frac{{\hat{\theta}_2}^2}{3} = \sum_{i=1}^n \frac{\left(X_i – \overline{X}\right)^2}{n}
\end{align}
\frac{{\hat{\theta}_2}^2}{3} = \sum_{i=1}^n \frac{\left(X_i – \overline{X}\right)^2}{n}
\end{align}
$\theta_2 > 0$だから,
\begin{align}
\hat{\theta}_2 = \sqrt{3\sum_{i=1}^n \frac{\left(X_i – \overline{X}\right)^2}{n}}
\end{align}
\hat{\theta}_2 = \sqrt{3\sum_{i=1}^n \frac{\left(X_i – \overline{X}\right)^2}{n}}
\end{align}
となる.