はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex2.A.10
(i)
\begin{align}
E(X) &= \int_0^1 x\cdot 3x^2 \delt x \lnl
&= \left[\frac{3}{4}x^4\right]_0^1 \lnl
&= \frac{3}{4} \Lnl
E(X^2) &= \int_0^1 x^2\cdot 3x^2 \delt x \lnl
&= \left[\frac{3}{5}x^5\right]_0^1 \lnl
&= \frac{3}{5}
\end{align}
E(X) &= \int_0^1 x\cdot 3x^2 \delt x \lnl
&= \left[\frac{3}{4}x^4\right]_0^1 \lnl
&= \frac{3}{4} \Lnl
E(X^2) &= \int_0^1 x^2\cdot 3x^2 \delt x \lnl
&= \left[\frac{3}{5}x^5\right]_0^1 \lnl
&= \frac{3}{5}
\end{align}
従って、
\begin{align}
E[(X-c)^2] &= E(X^2) – 2cE(X) + c^2 \lnl
&=c^2 – \frac{3}{2} c + \frac{3}{5} (\text{これを}g(c)\text{とおく})
\end{align}
E[(X-c)^2] &= E(X^2) – 2cE(X) + c^2 \lnl
&=c^2 – \frac{3}{2} c + \frac{3}{5} (\text{これを}g(c)\text{とおく})
\end{align}
\begin{align}
g'(c) = 2c – \frac{3}{2} = 0
\end{align}
g'(c) = 2c – \frac{3}{2} = 0
\end{align}
を解いて、$ c = \cfrac{3}{4} $。
$ g(c) $は下に凸であるため、これが最小にする$c$の値となる。
(ii)
\begin{align}
E\Big[|X-c|\Big] =\begin{cases}
\displaystyle \int_0^3 (x-c)\cdot 3x^2\delt x &(c \le 0 )\lnl
\displaystyle \int_0^c (c-x)\cdot 3x^2\delt x + \int_c^3(x-c)\cdot 3x^2 \delt x &(0 < c < 1)\lnl \displaystyle \int_0^3 (c-x)\cdot 3x^2\delt x &(1 \le c) \end{cases} \end{align}
それぞれの最小値を求める。
(a) $ c \le 0 $のとき、
E\Big[|X-c|\Big] =\begin{cases}
\displaystyle \int_0^3 (x-c)\cdot 3x^2\delt x &(c \le 0 )\lnl
\displaystyle \int_0^c (c-x)\cdot 3x^2\delt x + \int_c^3(x-c)\cdot 3x^2 \delt x &(0 < c < 1)\lnl \displaystyle \int_0^3 (c-x)\cdot 3x^2\delt x &(1 \le c) \end{cases} \end{align}
\begin{align}
E\Big[|X-c|\Big] &=\int_0^3 (x-c)\cdot 3x^2\delt x\lnl
&=\left[\frac{3}{4}x^4 - cx^3\right]_0^1 \lnl
&= \frac{3}{4} - c
\end{align}
最小値は$c = 0 $のとき、$\cfrac{3}{4}$となる。
(b) $ 0 < c < 1 $のとき、
\begin{align}
E\Big[|X-c|\Big] &=\int_0^c (c-x)\cdot 3x^2\delt x + \int_c^3(x-c)\cdot 3x^2 \delt x \lnl
&= \frac{1}{2}c^4 - c + \frac{3}{4} (\text{We put it as } h(c))
\end{align}
$h(c)$は下に凸だから、$h'(c) = 0$の時最小値をとる。
\begin{align}
h'(c) = 3c^3 - 1 = 0
\end{align}
を解いて、$ c = \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{1}{3} $。
これは$0 < c < 1$を満たす。
増減表は、
\begin{array}{|c|*5{c|}}\hline
c&0 & \cdots & (\frac{1}{2})^\frac{1}{3} & \cdots & 1 \\ \hline
h'(c) & - & - & 0 & + & + \\ \hline
h(c) & \frac{3}{4} & \searrow & \text{Min} & \nearrow & \frac{1}{4} \\ \hline
\end{array}
(c) $ 1 \le c $のとき、
\begin{align}
E[|X-c|] &=\int_0^3 (c-x)\cdot 3x^2\delt x\\
&= c - \frac{3}{4}
\end{align}
最小値は、$c=1$のとき、$\cfrac{1}{4}$となる。
(a)～(c)の最小値を比べて、最小にするcは$ c = \left(\cfrac{1}{2}\right)^\frac{1}{3} $である。