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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex3.6.9

$ X_i \sim B(1,0.05) $とする。

\begin{align}
S= X_1 + X_2 + \cdots + X_{160}
\end{align}

とする。ここで、

\begin{align}
E(S) &= 160 \times 0.05 = 8 \\
V(S) &= 160\times 0.05 \times ( 1 – 0.05) = 7.6
\end{align}

であるから、$S$は$N(8,7.6)$で近似できる。
求める確率は、$Z$を標準正規分布に従う確率変数とすると、

\begin{align}
P(S \ge 5) &= P( Z \ge -1.088)\\
&\fallingdotseq P(Z \ge -1.09)\\
&= 0.862143
\end{align}