はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex3.12.2
本問では$Z$を標準正規分布に従う確率変数とする。
(i)
(3.12.5)より$Y=15$のときの$X$の条件付き確率は、平均$\mu_{X’}=\mu_X+\rho\left(\cfrac{\sigma_X}{\sigma_Y}\right)(y-\mu_Y)$、分散$\sigma_{X’}^2=\sigma_X^2(1-\rho^2)$の正規分布に従う。
与えられた数値から具体的に計算すると、
\begin{align}
\mu_{X’}&=\mu_X+\rho\left(\frac{\sigma_X}{\sigma_Y}\right)(y-\mu_Y)= 10\\
\sigma_{X’}^2&=25(1-\rho^2)
\end{align}
\mu_{X’}&=\mu_X+\rho\left(\frac{\sigma_X}{\sigma_Y}\right)(y-\mu_Y)= 10\\
\sigma_{X’}^2&=25(1-\rho^2)
\end{align}
従って、
\begin{align}
&P(5 < X < 15|Y=15) \\ &\quad= P\left(\frac{5-10}{\sqrt{25(1-\rho^2)}} < Z < \frac{15-10}{\sqrt{25(1-\rho^2)}}\right)\\ &\quad=P\left(\frac{-1}{\sqrt{1-\rho^2}} < Z < \frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}}\right)\\ &\quad=0.9545 \end{align}
$Z$の分布は$z=0$で対称だから、
&P(5 < X < 15|Y=15) \\ &\quad= P\left(\frac{5-10}{\sqrt{25(1-\rho^2)}} < Z < \frac{15-10}{\sqrt{25(1-\rho^2)}}\right)\\ &\quad=P\left(\frac{-1}{\sqrt{1-\rho^2}} < Z < \frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}}\right)\\ &\quad=0.9545 \end{align}
\begin{align}
&P\left(Z > \frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}}\right) = \frac{1-0.9545}{2} = 0.02275\\
&\Rightarrow P\left( Z < \frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}}\right) = 0.97725 \end{align}
テキストの正規分布表から、これを満たす数値を探すと
&\Rightarrow P\left( Z < \frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}}\right) = 0.97725 \end{align}
\begin{align}
&\frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}} = 2\\
&\Leftrightarrow \rho = \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{align}
(ii)
$\rho=0$より$X$と$Y$は独立。((3.12.6)を参照のこと)
独立な正規分布の再生性から、
\begin{align}
X+Y \sim N(\mu_X + \mu_Y , \sigma_X^2 + \sigma_Y^2) = N(25,29)
\end{align}
X+Y \sim N(\mu_X + \mu_Y , \sigma_X^2 + \sigma_Y^2) = N(25,29)
\end{align}
従って、
\begin{align}
P(X+Y<30) &= P\left(Z < \frac{30-25}{\sqrt{29}}\right)\\ &\fallingdotseq P(Z < 0.93)\\ &\fallingdotseq 0.823814 \end{align}
P(X+Y<30) &= P\left(Z < \frac{30-25}{\sqrt{29}}\right)\\ &\fallingdotseq P(Z < 0.93)\\ &\fallingdotseq 0.823814 \end{align}