ex3.4.2

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex3.4.2

ex3.4.1と同様に、「訪問している家の数」=「指定された契約数を取るまでに契約が取れなかった家の数」と考えます。
$Y$を$r=3,p=0.4$である負の二項分布に従うとします。

\begin{align}
P(Y=k) &= \binom{r+k – 1}{r-1}p^r(1-p)^k\lnl
&= \binom{k+2}{2}(0.4)^3(0.6)^k
\end{align}

(i)

\begin{align}
P(Y=3) &= \binom{5}{2}(0.4)^3(0.6)^3\lnl
&= 10(0.4)^3(0.6)^3
\end{align}

(ii)
負の二項分布の期待値は$ r(1-p)/p $であるから、

\begin{align}
E(X) = 3\times\frac{1-0.4}{0.4} =\frac{9}{2}
\end{align}

(iii)
負の二項分布の分散は $ r(1-p)/p^2 $であるから、

\begin{align}
V(X) = 3\times \frac{1-0.4}{(0.4)^2} =\frac{45}{4}
\end{align}

よって、標準偏差は

\begin{align}
SD(X) = \sqrt{V(X)} = \frac{3\sqrt{5}}{2}
\end{align}