はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex5.1.1
各問で統計モデルを$\mathscr{F}$, パラメータ空間を$\Theta$, パラメータを$\theta$と表す.
(a)
$0 < \mu < \infty , 0 < \sigma^2 < \infty$(いずれも未知)とし, $\Theta= \{ \text{平均}\mu, \text{分散}\sigma^2\text{の連続型確率変数の確率密度関数すべて} \}$であり, $\mathscr{F} = \{f; f\in \Theta\}$ であり, パラメータ$\theta=f$である.
(b)
$0 < \mu < \infty , 0 < \sigma^2 < \infty$(いずれも未知)とし, パラメータ空間$\Theta= \{(\mu,\sigma^2);0<\mu<\infty , 0 < \sigma^2 < \infty\}$であり, モデル$\mathscr{F} = \{\mathrm{N}(\mu, \sigma^2); (\mu,\sigma^2) \in \Theta\}$ パラメータは$\theta=(\mu,\sigma^2)$.
(c)
$\lambda$は未知.
パラメータ空間$\Theta = \{\lambda; 0<\lambda < \infty \}$であり,
モデル$\mathscr{F} = \{\mathrm{Po}(\lambda); \lambda \in \Theta\}$
パラメータは$\theta=\lambda$.
(d)
$n$は既知, $p$は未知とし,
パラメータ空間$\Theta = \{p; 0 \le p \le 1 \}$であり,
モデル$\mathscr{F} = \{\mathrm{B}(n,p); p \in \Theta\}$
パラメータは$\theta=p$.