ex3.10.3 F分布の変換がベータ分布になることの証明

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
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$\require{color}$

ex3.10.3

テキストp62~63の(2.4.3)から、$Y=\frac{1}{1+\left(\frac{m}{n}\right)x}=h(x)$の密度関数は、$h(x)$が単調減少であることから
\begin{equation}
f_Y(y) = f_{\color{red}{X}}(h^{-1}(y))\left\lvert \cfrac{dh^{-1}(y)}{dy}\right\rvert
\end{equation}
となる。なお、テキストp63の★NOTE★の直前の式は上記の赤字部分に誤植($f_X$が$f_Y$になっている)があります。

\begin{align}
&h(x) = y = \frac{1}{1+\left(\frac{m}{n}\right)x}\\
&\quad\Leftrightarrow h^{-1}(y) = \frac{n}{m}\frac{1-y}{y}\\
&\quad\Rightarrow \left\lvert\cfrac{dh^{-1}(y)}{dy} \right\rvert = \frac{n}{m}\frac{1}{y^2}
\end{align}

となる。
また、$f_X$は$x > 0$で、
\begin{align}
f_X(x) &= \cfrac{\Gamma \left[\cfrac{(m+n)}{2}\right] m^{\frac{m}{2}} n^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\cfrac{m}{2}\right)\Gamma\left(\cfrac{n}{m}\right)}\cdot \cfrac{x^{\left(\frac{m}{2}\right)-1}}{(mx+n)^{\frac{(m+n)}{2}}}\\
&= \cfrac{1}{B\left(\cfrac{n}{2},\cfrac{m}{2}\right)}m^{\frac{m}{2}} n^{\frac{n}{2}}\cdot \cfrac{x^{\left(\frac{m}{2}\right)-1}}{(mx+n)^{\frac{(m+n)}{2}}}
\end{align}

である。以下途中式では、$\frac{1}{B\left(\frac{n}{2},\frac{m}{2}\right)} = B^{-1}$と簡単に表記する。

明らかに$h^{-1}(y) > 0$であるので、これらをもとに根気よく計算する。

\begin{align}
f_Y(y) &= f_X(h^{-1}(y))\left\lvert \cfrac{dh^{-1}(y)}{dy}\right\rvert\\
&= f_X\left(\frac{n}{m}\frac{1-y}{y}\right)\cdot \frac{n}{m}\frac{1}{y^2}\\
&= B^{-1} m^{\frac{m}{2}} n^{\frac{n}{2}}\cdot \cfrac{\left(\cfrac{n}{m}\cfrac{1-y}{y}\right)^{\left(\frac{m}{2}\right)-1}}{\left(\cancel{m}\cdot\cfrac{n}{\cancel{m}}\cdot \cfrac{1-\cancel{y}}{y} + \cancel{n} \right)^{\frac{m+n}{2}}}\cdot \frac{n}{m}\frac{1}{y^2}\\
&= B^{-1} m^{\frac{m}{2}} n^{\frac{n}{2}}\cdot \cfrac{\left(\cfrac{n}{m}\cfrac{1-y}{y}\right)^{\left(\frac{m}{2}\right)-1}}{\left(\cfrac{n}{y}\right)^{\frac{m+n}{2}}}\cdot \frac{n}{m}\frac{1}{y^2}\\
&= B^{-1} m^{\frac{m}{2}} n^{\frac{n}{2}}\cdot
\left\{ \cfrac{\cfrac{ \cancel{n}}{m} \cfrac{1-y}{\cancel{y}} }{ \cfrac{\cancel{n}}{\cancel{y}} } \right\}^{\frac{m}{2}-1}
\cdot \left\{ \cfrac{\quad 1 \quad}{ \cfrac{n}{y} } \right\}^{\frac{n}{2}+1}
\cdot \frac{n}{m}\frac{1}{y^2}\\
&= B^{-1} \cancel{m^{\frac{m}{2}}} \cancel{n^{\frac{n}{2}}}\cdot
\cancel{\left( \frac{1}{m} \right)^{\frac{m}{2}-1}} (1-y)^{\frac{m}{2}-1}
\cdot \cancel{\left( \frac{1}{n} \right)^{\frac{n}{2}+1}} y^{\frac{n}{2}+1}
\cdot \frac{\cancel{n}}{\cancel{m}}\frac{1}{y^2}\\
&= \frac{1}{B\left(\cfrac{n}{2},\cfrac{m}{2}\right)} y^{\frac{n}{2}-1}(1-y)^{\frac{m}{2}-1}
\end{align}

これは、パラメータ$n/2$ , $m/2$のベータ分布の密度関数であるため示された。