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はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex3.2.1

$X$を$N=10 , K = 6 , n=3$の超幾何分布に従う確率変数とする。

(i)

\begin{align}
P(X=1) = \frac{\binom{6}{1}\binom{4}{2}}{\binom{10}{3}} = \frac{3}{10}
\end{align}

(ii)

\begin{align}
P(X<3) &= 1- P(X=3)\lnl &=1- \frac{\binom{6}{3}\binom{4}{0}}{\binom{10}{3}} \lnl &= 1- \frac{1}{6}\lnl &= \frac{5}{6} \end{align}
テキストの解答は$\cfrac{4}{5}$となっていますね。 一応もう一通りで計算すると、
\begin{align} P(X<3) &= P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\lnl &= \frac{\binom{6}{0}\binom{4}{3}}{\binom{10}{3}} + \frac{\binom{6}{1}\binom{4}{2}}{\binom{10}{3}} + \frac{\binom{6}{2}\binom{4}{1}}{\binom{10}{3}} \lnl &= \frac{1}{30} + \frac{3}{10} + \frac{1}{2}\lnl &= \frac{5}{6} \end{align}
おそらくテキストの解答は$P(X=0)$の考慮を忘れているのだと思います。

(iii)

超幾何分布の期待値は$ n\times \cfrac{K}{N} $であるから、

\begin{align}
E(X) = 3\times \frac{6}{10} = \frac{9}{5}
\end{align}

(iv)
超幾何分布の分散は$ n \times \cfrac{K}{N} \left(1- \cfrac{K}{N}\right) \times \cfrac{N-n}{N-1} $だから、

\begin{align}
V(X) = 3\times \frac{6}{10}\times \left(1-\frac{6}{10}\right) \times \frac{10-3}{10-1} = \frac{14}{25}
\end{align}