1.4.4.合成関数の微分

$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

合成関数の微分

2つの微分可能な関数$f(x),g(x)$が存在し,$g(x)$の値域が$f(x)$の定義域に含まれるとすると,2つの関数の合成$f(g(x))$を考えることができる.
このような関数を合成関数といい, $f\circ g(x)$と表す.

合成関数の微分は,

\begin{align}
(f \circ g(x))’ &= f'(g(x))\cdot g'(x)\lnl
&= f’\circ g(x)\cdot g'(x)
\end{align}

である.

合成関数の微分の例

\begin{align}
\Big(\log(x^2)\Big)’ &= \frac{1}{x^2} \cdot (2x)\lnl
&= \frac{2}{x}
\end{align}

この例の場合,$\log(x^2)= 2\log x$ですので確かに結果が正しいことがわかります.