はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex6.3.10
分布の性質
与えられた確率密度関数から,$X$はパラメータ$\theta$の指数分布に従う確率変数$Y$により, $X-\mu = Y $であることがわかりますね.
$\mu$だけずれた指数分布と言えます.
解答
尤度関数は
\begin{align}
L(\theta;\bm{x}) = \theta^n \exp(n\theta \mu – n\theta \overline{x})
\end{align}
L(\theta;\bm{x}) = \theta^n \exp(n\theta \mu – n\theta \overline{x})
\end{align}
ただし,$\overline{x}= \displaystyle \cfrac{1}{n}\ssum_{i=1}^n x_i$である.対数尤度関数$l$は
\begin{align}
l(\theta;\bm{x}) = n\log \theta + n \theta \mu – n\theta \overline{x}
\end{align}
l(\theta;\bm{x}) = n\log \theta + n \theta \mu – n\theta \overline{x}
\end{align}
$\frac{\partial}{\partial \theta}l = 0$を解く.
\begin{align}
&\frac{\partial}{\partial \theta}l = \frac{n}{\theta} + n(\mu-\overline{x}) = 0 \lnl
\Longleftrightarrow & \theta = \frac{1}{\overline{x}-\mu}
\end{align}
&\frac{\partial}{\partial \theta}l = \frac{n}{\theta} + n(\mu-\overline{x}) = 0 \lnl
\Longleftrightarrow & \theta = \frac{1}{\overline{x}-\mu}
\end{align}
増減表は
$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\theta & \cdots & \frac{1}{\overline{x}-\mu} & \cdots \\
\hline
\frac{\partial}{\partial \theta}l & + & 0 & – \\
\hline
L & \nearrow & \text{最大} & \searrow \\
\hline
\end{array} $
\hline
\theta & \cdots & \frac{1}{\overline{x}-\mu} & \cdots \\
\hline
\frac{\partial}{\partial \theta}l & + & 0 & – \\
\hline
L & \nearrow & \text{最大} & \searrow \\
\hline
\end{array} $
となるので,$\theta$のMLEは$ \cfrac{1}{\overline{X}-\mu}$である.