ex3.A.3 ワイブル分布の性質

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
$\require{cancel}$

ex3.A.3

ここではワイブル分布を扱います。

(i)密度関数

与えられた密度関数

\begin{align}
f_X(x) = \begin{cases} \alpha \beta x^{\beta -1} \exp(-\alpha x^\beta) & x > 0\\
0&\text{other}\end{cases}
\end{align}

が$\forall x \in \mathbb{R} , f_X(x) \ge 0$であることを示す。
(本書では$f_X(X) = 0$を示せとなっていますが誤植です)

$x \le 0$で$f_X(x) =0$は明らか。
$x > 0$の場合は、 $\alpha > 0 , \beta >0 , x^{\beta-1} > 0 , \exp(-\alpha x^\beta) >0$より$f_X(x) >0$。
等号は成立しない。

$\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx = 1$を示す。
$( \exp(-\alpha x^\beta))’ = -\alpha \beta x^{\beta-1} \exp(-\alpha x^\beta)$に注意すると、

\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx &= \int_{0}^{\infty} \alpha \beta x^{\beta -1} \exp(-\alpha x^\beta) dx\\
&= -\Bigl[ \exp(-\alpha x^\beta)\Bigr]_0^{\infty}\\
&= 1
\end{align}

よって示された。

(ii)分布関数の導出

$x \le 0$のときは明らかに$F_X(x) = 0$。
$x > 0$のとき、

\begin{align}
F_X(x) &= \int_{0}^{x} \alpha \beta t^{\beta -1} \exp(-\alpha t^\beta) dt\\
&= -\Bigl[ \exp(-\alpha t^\beta)\Bigr]_0^{x}\\
&= 1- \exp(-\alpha x^\beta)
\end{align}

よって示された。

(iii)期待値と分散

期待値

ガンマ関数の定義を書いておく。

\begin{align}
\Gamma(z) = \int_0^{\infty} t^{z-1} e^{-t} dt
\end{align}

期待値を定義通りに計算する。
途中で、$s = \alpha x^{\beta}$と置換する。このとき、

\begin{align}
\begin{cases} x &= s^{\frac{1}{\beta}} \alpha^{-\frac{1}{\beta}}\\
dx &= \alpha^{-\frac{1}{\beta}} \beta^{-1} s^{\frac{1}{\beta}-1} ds
\end{cases}
\end{align}

である。
\begin{align}
E(X) &= \int_0^{\infty} \alpha \beta x^{\beta} \exp(-\alpha x^{\beta} ) dx\\
&= \int_0^{\infty} \alpha \cancel{\beta} \left(s^{\frac{1}{\beta}} \alpha^{-\frac{1}{\beta}} \right)^{\beta} \exp(-s) \cdot \alpha^{-\frac{1}{\beta}} \cancel{\beta^{-1}} s^{\frac{1}{\beta}-1} ds\\
&= \int_0^{\infty} \cancel{\alpha} s \cancel{\alpha^{-1}} \exp(-s) \alpha^{-\frac{1}{\beta}} s^{\frac{1}{\beta}-1} ds\\
&= \alpha^{-\frac{1}{\beta}} \int_0^{\infty} s^{\frac{1}{\beta}} \exp(-s) ds\\
&= \alpha^{-\frac{1}{\beta}} \Gamma\left(\frac{1}{\beta} + 1\right)
\end{align}

よって示された。

分散

定義通り$E(X^2)$を計算する。
ここでも期待値と同じく$s = \alpha x^{\beta}$と置換する。

\begin{align}
E(X^2) &= \int_0^{\infty} \alpha \beta x^{\beta+1} \exp(-\alpha x^{\beta} ) dx\\
&= \int_0^{\infty} \alpha \cancel{\beta} \left(s^{\frac{1}{\beta}} \alpha^{-\frac{1}{\beta}} \right)^{\beta+1} \exp(-s) \cdot \alpha^{-\frac{1}{\beta}} \cancel{\beta^{-1}} s^{\frac{1}{\beta}-1} ds\\
&= \int_0^{\infty} \alpha s^{1+\frac{1}{\beta}} \alpha^{-1-\frac{1}{\beta}} \exp(-s) \alpha^{-\frac{1}{\beta}} s^{\frac{1}{\beta}-1} ds\\
&= \alpha^{-\frac{2}{\beta}} \int_0^{\infty} s^{\frac{2}{\beta}} \exp(-s) ds\\
&= \alpha^{-\frac{2}{\beta}} \Gamma\left(\frac{2}{\beta} + 1\right)\\
\end{align}

以上より、
\begin{align}
V(X) &= E(X^2) – E(X)^2 \\
&= \alpha^{-\frac{2}{\beta}}\left[ \Gamma\left(\frac{2}{\beta} + 1\right) – \Gamma^2\left(\frac{1}{\beta} + 1\right)\right]
\end{align}

よって示された。