ex6.5.18 ポアソン分布の平均の近似信頼区間

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.5.18

大標本なので中心極限定理より,

\begin{align}
\sqrt{n} \frac{\overline{X} – \lambda}{\sqrt{\overline{X}}} \sim \mathrm{N}(0,1)
\end{align}

となる.ただし$\lambda$は母集団平均.母集団平均の$95$%近似信頼区間を求めればよい.
\begin{align}
P\left( -z_\frac{\alpha}{2} \le \sqrt{n} \frac{\overline{X} – \lambda}{\sqrt{\overline{X}}} \le z_\frac{\alpha}{2}\right) &= P\left( \overline{X}-z_\frac{\alpha}{2}\sqrt{\frac{\overline{X}}{n}} \le\lambda \le \overline{X}+z_\frac{\alpha}{2}\sqrt{\frac{\overline{X}}{n}} \right) \lnl
&= 1-\alpha
\end{align}

なので,求める近似信頼区間は
\begin{align}
\left[ \overline{X}-z_\frac{\alpha}{2}\sqrt{\frac{\overline{X}}{n}} , \overline{X}+z_\frac{\alpha}{2}\sqrt{\frac{\overline{X}}{n}} \right]
\end{align}

である.$\overline{X}= 2.3 , n=100 , z_\frac{\alpha}{2} = 1.96$を代入して,
\begin{align}
[2.0,2.6]
\end{align}

となる.