ex6.2.8 分散既知の正規分布の平均の有効推定量と平均の二乗のUMVUE

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.2.8

$\overline{X}$が$\mu$の有効推定量であることの証明

まず,$\overline{X}$が$\mu$の不偏推定量であることを示す.

\begin{align}
E\left(\overline{X}\right) &= E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right)\lnl
&= \frac{1}{n}\cdot n \cdot E(X)\lnl
&= \mu
\end{align}

となり示された.

結合密度関数は,

\begin{align}
f(\bm{x};\mu) = \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^n\exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2\right)
\end{align}

である.フィッシャー情報量$I_n(\mu)$を
\begin{align}
I_n(\mu) = – E\left(\frac{\partial^2}{\partial \mu^2} \log f(\bm{x};\mu)\right)
\end{align}

で計算する.

\begin{align}
&\log f(\bm{x};\mu) = -\frac{n}{2}\log(2\pi \sigma^2) – \frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2\Lnl
&\frac{\partial}{\partial \mu} \log f(\bm{x};\mu) = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)\Lnl
&\frac{\partial^2}{\partial \mu^2} \log f(\bm{x};\mu) = -\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n 1 = -\frac{n}{\sigma^2}\Lnl
\end{align}

従って,
\begin{align}
I_n(\mu) &= – E\left(\frac{\partial^2}{\partial \mu^2} \log f(\bm{x};\mu)\right) = \frac{n}{\sigma^2}
\end{align}

また,

\begin{align}
V\left(\overline{X}\right)&= V\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right)\lnl
&= \frac{1}{n^2}\cdot n \cdot V(X) \lnl
&= \frac{\sigma^2}{n}
\end{align}

これは,$\cfrac{1}{I_n(\mu)}$に等しいから,$\overline{X}$は$\mu$の有効推定量である.

$\overline{X}^2-\cfrac{\sigma^2}{n}$が$\mu^2$のUMVUEであることの証明

結合密度関数を変形して,

\begin{align}
f(\bm{x};\mu) = \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^n \exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n {x_i}^2\right) \exp\left(\frac{\mu}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n x_i – \frac{n\mu^2}{2\sigma^2}\right)
\end{align}

と1パラメータの指数分布族となる.従ってレーマン・シェフェの定理より$S=\displaystyle \sum_{i=1}^n X_i$の関数で$\mu^2$の不偏推定量がUMVUEとなる.

まず,与えられた式が$S$の関数であることを示す.

\begin{align}
\overline{X}^2-\frac{\sigma^2}{n} = \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \right)^2 – \frac{\sigma^2}{n} = \frac{S^2}{n^2} – \frac{\sigma^2}{n}
\end{align}

であり,確かに$S$の関数である.

\begin{align}
E\left(\overline{X}^2\right)&= E\left[\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right)^2\right]\lnl
&=\frac{1}{n^2}E\left(\sum_{i=1}^n {X_i}^2 + \sum_{i\neq j}X_iX_j\right)\lnl
&=\frac{1}{n}E(X^2) + \frac{n-1}{n}\mu^2\lnl
&= \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2
\end{align}

最後の変形は$\sigma^2 = E(X^2) – \mu^2$を用いた.

以上より,

\begin{align}
E\left(\overline{X}^2-\cfrac{\sigma^2}{n}\right) = \mu^2
\end{align}

となるので, 示された.