ex5.3.2 両方のパラメータ未知のガンマ分布とベータ分布が2パラメータの指数型分布族であることの証明

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex5.3.2

集合$A$に対して, $I_{A}(x)$を,

\begin{align}
I_A(x) = \begin{cases} 1 & x \in A\\ 0 & x \not\in A\end{cases}
\end{align}

で定義する.
また,
\begin{align}
&\mathbb{R} = \{r ; r\text{は実数}\}\\
&\mathbb{R}(a,b) = \{r ; r \in \mathbb{R}, a < r < b\}\\ &\mathbb{R}^{+} = \{r ; r\in \mathbb{R}, r > 0\}
\end{align}

と定義する.

それぞれの確率(密度)関数$f(x;\alpha,\beta)$が,

\begin{align}
f(x;\alpha,\beta ) = h(x)\exp\big(c_1(\alpha,\beta)\cdot T_1(x) + c_2(\alpha,\beta)\cdot T_2(x) + d(\alpha,\beta)\big)
\end{align}

となるように$h(x) , c_1(\alpha,\beta) ,T_1(x) ,c_2(\alpha,\beta) , T_2(x), d(\alpha,\beta)$を定められればよい.

(i)ガンマ分布(パラメータ$\alpha$:未知 ,$\beta$:未知)

確率密度関数は,

\begin{align}
f(x;\alpha,\beta) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}\cdot I_{\mathbb{R}^+}(x)
\end{align}

となる.変形して,
\begin{align}
f(x;\alpha,\beta) = I_{\mathbb{R}^+}(x) \exp\big((\alpha-1)\log x -\beta x + \alpha \log\beta – \log\Gamma(\alpha)\big)
\end{align}

となる.
\begin{align}
&h(x) = I_{\mathbb{R}^+}(x), && d(\alpha,\beta) = \alpha \log\beta – \log\Gamma(\alpha),\\
&c_1(\alpha,\beta) = \alpha-1 , && T_1(x) = \log x,\\
&c_2(\alpha,\beta) = -\beta , && T_2(x) = x
\end{align}

とすればよいから, $2$パラメータの指数型分布族となる.

(ii)ベータ分布(パラメータ$\alpha$:未知 ,$\beta$:未知)

確率密度関数は,

\begin{align}
f(x;\alpha,\beta) = \frac{1}{B(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1} \cdot I_{\mathbb{R}(0,1)}(x)
\end{align}

となる.変形して,
\begin{align}
f(x;\alpha,\beta ) = I_{\mathbb{R}(0,1)}(x) \exp\big( (\alpha-1)\log x + (\beta-1)\log(1-x) – \log B(\alpha,\beta) \big)
\end{align}

となる.
\begin{align}
&h(x) = I_{\mathbb{R}(0,1)}(x), && d(\alpha,\beta) = – \log B(\alpha,\beta),\\
&c_1(\alpha,\beta) = \alpha-1 , && T_1(x) = \log x,\\
&c_2(\alpha,\beta) = \beta-1 , && T_2(x) = \log(1-x)
\end{align}

とすればよいから, $2$パラメータの指数型分布族となる.