ex6.1.7 正規分布の標準偏差の不偏推定量

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

[商品価格に関しましては、リンクが作成された時点と現時点で情報が変更されている場合がございます。]

入門・演習数理統計 [ 野田一雄 ]
価格:3780円(税込、送料無料) (2018/4/3時点)



間違い等発見されましたらご指摘ください。
他の解答はこちらから。
なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。

また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。



スポンサーリンク


$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.1.7

\begin{align}
\frac{nS^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)
\end{align}

であることを利用する。$Y \sim \chi^2(n-1)$とすると、
\begin{align}
S^2 = \frac{\sigma^2}{n} Y \Rightarrow S = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\sqrt{Y}
\end{align}

$\sqrt{Y}$の期待値を求める。
\begin{align}
E(\sqrt{Y}) &= \int_0^\infty \sqrt{y} \cdot \frac{1}{\Gamma(\frac{n-1}{2})}\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{n-1}{2} y^{\frac{n-1}{2}-1} e^{-\frac{y}{2}} \mathrm{d}y\\
&= \frac{\sqrt{2}\Gamma(\frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{n-1}{2})} \underline{\int_0^\infty \frac{1}{\Gamma(\frac{n}{2})}\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{n}{2} y^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{y}{2}} \mathrm{d}y}\\
&= \frac{\sqrt{2}\Gamma(\frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{n-1}{2})}
\end{align}

最後の等号は下線部がパラメータ$n$のカイ二乗分布の全確率に等しいことを利用した。
以上より、

\begin{align}
E(S) = \sigma \sqrt{\frac{2}{n}} \frac{\Gamma(\frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{n-1}{2})}
\end{align}

よって$S$は$\sigma$の不偏推定量ではない。
その偏り$E(S) – \sigma$は、
\begin{align}
\sigma\left[\sqrt{\frac{2}{n}} \frac{\Gamma(\frac{n}{2})}{\Gamma(\frac{n-1}{2})} – 1 \right]
\end{align}

である。

次に、$E(|X_i – \mu|)$を求める。正規分布$N(\mu,\sigma^2)$の確率変数密度関数を$f(x)$とすれば、

\begin{align}
E(|X_i – \mu|) &= \int_{-\infty}^{\infty} |x – \mu| f(x) \mathrm{d}x\\
&= \int_{-\infty}^\mu -(x-\mu) f(x) \mathrm{d}x + \int_{\mu}^\infty (x-\mu) f(x) \mathrm{d}x \\
&= 2\int_{\mu}^\infty (x-\mu) f(x) \mathrm{d}x
\end{align}

最後の等式は$f(x)$が$\mu$で対称となることを利用した。
$z = (x-\mu)/\sigma$とおくと、
\begin{align}
2\int_{\mu}^\infty (x-\mu) f(x) \mathrm{d}x &= \int_0^\infty \frac{2\sigma^2 z}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{z^2}{2}\right) \mathrm{d}z\\
&=\frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}} \left[-\exp\left(-\frac{z^2}{2}\right) \right]_0^\infty\\
&= \sqrt{\frac{2}{\pi}}\sigma
\end{align}

これを使って$T(\bm{X})$の期待値を求めると、

\begin{align}
E(T(\bm{X})) &= \sqrt{\frac{\pi}{2}} \sum_{i=1}^n \frac{E(|X_i – \mu|)}{n} \\
&= \sqrt{\frac{\pi}{2}} \cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}}\sigma \\
&= \sigma
\end{align}

よって$T(\bm{X})$は$\sigma$の不偏推定量である。