ex6.A.1 正規母集団からのランダム標本に対する各種推定

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex6.A.1

問題文では大きさ$20$のランダム標本と書いてありますが, データの個数は$18$なので騙されないようにしましょう.

与えられたランダム標本を$X_i ,i=1,\cdots,18$とし, 母集団分布に従う確率変数を$X$とする.

(i)平均$\mu$の最尤推定値

テキスト(例6.3.2)より$\mu$の最尤推定値$\hat{\mu}$は,$\hat{\mu} = \overline{X}$だから,

\begin{align}
\overline{X} = \frac{24.4+11.2+\cdots+26.6}{18}=17.639
\end{align}

となる.

(ii)分散$\sigma^2$の不偏推定値

テキスト(4.2.3)のNOTEより$E(U^2)=\sigma^2$だから,不偏分散$U^2$が不偏推定値.

\begin{align}
U^2 &= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i – \overline{X})^2 \lnl
&= \frac{(24.4-17.639)^2 + (11.2-17.639)^2 + \cdots + (26.6-17.639)^2}{18-1}\lnl
&= 40.737
\end{align}

となる.

(iii)3次の積率のモーメント推定値

3次の積率$\mu_3=E(X^3)$である.
従って, $M_3 =\displaystyle \cfrac{1}{n}\ssum_{i=1}^n{X_i}^3$を求めればよい.

\begin{align}
M_3 = \frac{24.4^3 + 11.2^3 + \cdots + 26.6^3}{18} = 7500.692
\end{align}

である.

(iv)平均$\mu$の$95$%信頼区間

テキスト(6.5.5)(ii)より求める信頼区間は

\begin{align}
\left[ \overline{X} – t_{17,0.025}\sqrt{\frac{U^2}{n}}, \overline{X} + t_{17,0.025}\sqrt{\frac{U^2}{n}}, \right]
\end{align}

である.統計表より$t_{17,0.025} = 2.110$なので,
\begin{align}
\left[ 14.465 , 20.813 \right]
\end{align}

となる.

(v)分散$\sigma^2$の$99$%信頼区間

テキスト(6.5.6)(ii)より求める信頼区間は

\begin{align}
\left[ \frac{\displaystyle \ssum_{i=1}^n (X_i – \overline{X})^2}{\chi^2_{17,0.005}} ,\frac{\displaystyle \ssum_{i=1}^n (X_i – \overline{X})^2}{\chi^2_{17,0.995}} \right]
\end{align}

である.統計表より$\chi^2_{17,0.995} = 5.6972 , \chi^2_{17,0.005} = 35.719$であり, $\displaystyle \ssum_{i=1}^n(X_i – \overline{X})^2 = 17\times U^2= 692.529$なので,求める信頼区間は,
\begin{align}
[19.388 , 121.556]
\end{align}

となる.(テキストの解答では上限が$12.559$となっていますが誤植と思われます)