ex1.B.3 ブールの不等式の証明

はじめに

「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex1.B.3

数学的帰納法で示す。
$n=1$のとき、あきらかに満たす。
$n=2$のとき、

\begin{align}
P\left(\bigcup_{i=1}^2 A_i\right) &= P(A_1) + P(A_2) – P(A_1 \cap A_2) \\
&\le P(A_1) + P(A_2) \tag{A}\\
&= \sum_{i=1}^2 P(A_i)
\end{align}

成立。

$n=k$のとき、成立すると仮定する。すなわち、下記が正しいとする。

\begin{align}
P\left(\bigcup_{i=1}^k A_i\right) \le \sum_{i=1}^k P(A_i)\tag{B}
\end{align}

$n=k+1$のとき、

\begin{align}
P\left(\bigcup_{i=1}^{k+1} A_i\right) & = P\left(\left(\bigcup_{i=1}^k A_i\right) \cup A_{k+1}\right) \\
&\le P\left(\bigcup_{i=1}^k A_i\right) + P(A_{k+1}) & (\because (A))\\
&\le \sum_{i=1}^k P(A_i) + P(A_{k+1})& (\because (B))\\
&= \sum_{i=1}^{k+1} P(A_i)
\end{align}

よって示された。