ex5.3.5 一様分布が指数型分布族ではないことの証明

はじめに

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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$

ex5.3.5

$I(x)$を

\begin{align}
&I(x;\theta) = \begin{cases}1 & 0 < x < \theta\\0&\text{その他}\end{cases} \end{align}
と定義する. 一様分布$\mathrm{U}(0,\theta)$のの確率密度関数は
\begin{align} f(x;\theta) = \frac{1}{\theta}\cdot I(x;\theta) \end{align}
となる. 変形して
\begin{align} f(x;\theta) = \exp\left(-\log\theta + \log I(x;\theta)\right) \end{align}
としたいが, $\log 0$は定義されないのでこの変形はできない. 従って一様分布$U(0,\theta)$は指数型分布族ではない.