はじめに
「入門・演習 数理統計」の演習問題の自作解答を紹介します。
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なお、問題文は(必要がない限り)掲載しておりません。テキストを横に置いてご覧ください。
また、スマートフォン等では数式が画面からはみ出る場合があります。数式部分は横スクロールできます。
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$\newcommand{\lnl}{\\[8pt]}$ $\newcommand{\Lnl}{\\[18pt]}$ $\newcommand{\delt}{\mathrm{d}}$ $\newcommand{\comb}{\mathrm{C}}$ $\DeclareMathOperator*{\ssum}{\Sigma}$ $\DeclareMathOperator*{\sprod}{\Pi}$
ex1.5.7
記号はテキストp25と同様とする。
(a)
テキストp25と同様にして次の確率が求まる。
\begin{align}
\begin{cases}
P(R_1) &= \cfrac{r}{b+r}\\
P(B_2|R_1) &= \cfrac{b}{b+r+c}\\
P(B_1) &= \cfrac{b}{b+r}\\
P(B_2|B_1) &= \cfrac{b+c}{b+r+c}
\end{cases}
\end{align}
\begin{cases}
P(R_1) &= \cfrac{r}{b+r}\\
P(B_2|R_1) &= \cfrac{b}{b+r+c}\\
P(B_1) &= \cfrac{b}{b+r}\\
P(B_2|B_1) &= \cfrac{b+c}{b+r+c}
\end{cases}
\end{align}
よって、
\begin{align}P(B_2) &= P(R_1)P(B_2|R_1) + P(B_1)P(B_2|B_1)\\
& = \frac{r}{r+b} \frac{b}{b+r+c} + \frac{b}{r+b}\frac{b+c}{b+r+c}\\
&= \frac{b}{r+b}\end{align}
& = \frac{r}{r+b} \frac{b}{b+r+c} + \frac{b}{r+b}\frac{b+c}{b+r+c}\\
&= \frac{b}{r+b}\end{align}
(b)
\begin{align}
P(R_1|B_2) &= \frac{P(R_1\cap B_2)}{P(B_2)}\\
&=\frac{r}{r+b}\frac{b}{r+b+c} \frac{r+b}{b} \\
&= \frac{r}{r+b+c}
\end{align}
P(R_1|B_2) &= \frac{P(R_1\cap B_2)}{P(B_2)}\\
&=\frac{r}{r+b}\frac{b}{r+b+c} \frac{r+b}{b} \\
&= \frac{r}{r+b+c}
\end{align}
よって示された。